תכנון ליניארי לכיתה י״ב · 3 יח״ל

בנושא תכנון ליניארי בכיתה י״ב · 3 יח״ל לומדים מהסיפור לאילוצים, חצי מישור, קודקודי התחום, הערך המרבי, תחום פתוח ומזעור עלות ופרמטר בפונקציית המטרה. בתכנון ליניארי מחפשים את התוכנית הטובה ביותר כשיש מגבלות. מסמנים במשתנה אחד את מספר הפריטים מהסוג הראשון ובמשתנה שני את מספר הפריטים מהסוג השני. כל מגבלה בסיפור, כמו מספר שעות העבודה או כמות החומר, היא אי שוויון, ושני המשתנים אינם שליליים.

כל אי שוויון מתאר חצי מישור: צד אחד של ישר. כדי לדעת איזה צד, מציבים את ראשית הצירים. החלק המשותף לכל חצאי המישור הוא תחום התוכניות האפשריות, והקודקודים שלו הם הנקודות שבהן שני ישרים נפגשים, או ישר וציר. פונקציית המטרה, למשל הרווח או העלות, מקבלת את הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר שלה באחד הקודקודים. מוצאים את כל הקודקודים, מציבים כל אחד בפונקציה ובוחרים. כשהאילוצים הם מהצורה לפחות, התחום פתוח כלפי מעלה, ומחפשים בו את העלות הקטנה ביותר.

טיפ: לפני שמחשבים, כותבים במשפט אחד מה מסמן כל משתנה ומה בדיוק רוצים להגדיל או להקטין.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

מהסיפור לאילוצים

לדוגמה: נגרייה מייצרת שולחנות וכיסאות. לכל שולחן צריך 2 שעות עבודה, ולכל כיסא 4, ויש לכל היותר 160 שעות עבודה. מספר השולחנות הוא x , ומספר הכיסאות הוא y . איזה אי שוויון מתאר את האילוץ?

תשובה ופתרון

התשובה: שתיים איקס ועוד ארבע וואי קטן או שווה למאה ושישים

צריכת השולחנות היא 2x , צריכת הכיסאות היא 4y , ויחד הצריכה היא לכל היותר 160 : 2x + 4y ≤ 160 .

חצי מישור

לדוגמה: אי השוויון x + 2y ≥ 50 נתון. ציור א:

ציור ב: איזה ציור מתאר את כל הנקודות שמקיימות את אי השוויון?

תשובה ופתרון

התשובה: ציור ב

מציבים את ראשית הצירים: 1 · 0 + 2 · 0 = 0 , וזה פחות מ־50, כלומר ראשית הצירים אינה מקיימת את אי השוויון. לכן מסמנים את הצד שאין בו את ראשית הצירים. זה ציור ב.

קודקודי התחום

לדוגמה: הישר 7x + 3y = 210 נתון. באיזו נקודה הוא חותך את הציר האופקי?

תשובה ופתרון

התשובה: (30, 0)

בכל נקודה על הציר האופקי מתקיים y = 0 . מציבים: 7x = 210 , ולכן x = 30 . הנקודה היא (30, 0) .

הערך המרבי

לדוגמה: נגרייה מייצרת שולחנות וכיסאות. הרווח מכל שולחן הוא 90 ₪, והרווח מכל כיסא הוא 60 ₪. מספר השולחנות הוא x , ומספר הכיסאות הוא y . הקודקודים של תחום התוכניות האפשריות הם (0, 0) , (30, 0) , (15, 35) ו־ (0, 45) . מהו הרווח הגדול ביותר?

תשובה ופתרון

התשובה: 3450 ₪

פונקציית הרווח היא R = 90x + 60y . מציבים כל קודקוד: בנקודה (0, 0) : 90 · 0 + 60 · 0 = 0 ; בנקודה (30, 0) : 90 · 30 + 60 · 0 = 2700 ; בנקודה (15, 35) : 90 · 15 + 60 · 35 = 3450 ; בנקודה (0, 45) : 90 · 0 + 60 · 45 = 2700 . הרווח הגדול ביותר הוא 3,450 ₪.

תחום פתוח ומזעור עלות

לדוגמה: חברה שוכרת משאיות גדולות וקטנות כדי להוביל חומרי בנייה. כל משאית גדולה מובילה 4 טונות של חול, וכל משאית קטנה 5, וצריך להוביל לפחות 175 טונות של חול. כל משאית גדולה מובילה 3 טונות של חצץ, וכל משאית קטנה 5, וצריך להוביל לפחות 150 טונות של חצץ. התוכנית היא 25 משאיות גדולות ו־40 משאיות קטנות. האם התוכנית עומדת בכל הדרישות?

תשובה ופתרון

התשובה: כן

מספר המשאיות הגדולות הוא x , ומספר המשאיות הקטנות הוא y . בודקים את 4x + 5y ≥ 175 : 4 · 25 + 5 · 40 = 300 , וזה לפחות 175. בודקים את 3x + 5y ≥ 150 : 3 · 25 + 5 · 40 = 275 , וזה לפחות 150. כל הדרישות מתקיימות, ולכן התוכנית עומדת בהן.

פרמטר בפונקציית המטרה

לדוגמה:

קודקודי התחום הם ראשית הצירים, A(50, 0) , B(25, 30) , C(15, 35) ו־ D(0, 5) . פונקציית המטרה היא R = 7x + ky . מהו הערך של הפונקציה בקודקוד B ?

תשובה ופתרון

התשובה: מאה שבעים וחמש ועוד שלושים קיי

מציבים את הקודקוד B(25, 30) : 7 · 25 + 30k = 175 + 30k .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שרטוט התחום ביד · תוכנה לתכנון ליניארי · יותר משני משתנים.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←