מצולעים במערכת צירים לכיתה י״ב · 3 יח״ל
בנושא מצולעים במערכת צירים בכיתה י״ב · 3 יח״ל לומדים שיפוע הישר, משולש לפי קודקודיו, שטחים, מצולע ממשוואות צלעותיו ומרובע לפי קודקודיו. כשקודקודי המצולע נתונים במערכת צירים, אפשר לחשב בעזרת השיעורים כמעט כל דבר: אורכי צלעות, היקף, שטח, ואפילו את סוג המצולע. אורך של קטע מוצאים לפי משפט פיתגורס, מההפרש בין שיעורי האיקס ומההפרש בין שיעורי הוואי.
השיפוע של ישר הוא השינוי בוואי חלקי השינוי באיקס. ישרים מקבילים כאשר השיפועים שלהם שווים, ומאונכים כאשר מכפלת השיפועים היא מינוס אחת. כך מזהים מקבילית, מלבן וטרפז, ובודקים אם יש במשולש זווית ישרה. לשטח נוח לבחור צלע שמקבילה לאחד הצירים: האורך שלה והגובה אליה הם הפרשים של שיעור אחד בלבד. כשהצלעות נתונות כמשוואות, מוצאים קודקוד בכל מקום שבו שני ישרים נפגשים.
טיפ: משרטטים את הנקודות במערכת צירים לפני שמחשבים. הציור מראה איזו צלע מקבילה לציר ואיפה כדאי להתחיל.
מה לומדים בנושא
שיפוע הישר
לדוגמה: ישר עובר בנקודות A(7, −5), B(10, 1) . מהו השיפוע של הישר?
תשובה ופתרון
התשובה: 2
השיפוע הוא (1 − (−5)) : (10 − 7) , כלומר 6 : 3 = 2 .
משולש לפי קודקודיו
לדוגמה: קודקודי המשולש הם A(2, −7) , B(5, −3) ו־ C(2, 1) .
מהו היקף המשולש?תשובה ופתרון
התשובה: 18
ריבועי הצלעות לפי משפט פיתגורס: AB² = 3² + 4² = 25 , ולכן AB = 5 , BC² = 3² + 4² = 25 , ולכן BC = 5 , AC = 8 . ההיקף הוא 5 + 5 + 8 = 18 .
שטחים
לדוגמה: קודקודי המשולש ABC הם A(−3, 5) , B(−1, 8) ו־ C(−6, 8) .
מהו שטח המשולש?תשובה ופתרון
התשובה: 7.5
הצלע BC מקבילה לציר האיקס, ואורכה 5 . הגובה אליה הוא |5 − 8| = 3 . השטח הוא 5 · 3 : 2 = 7.5 .
מצולע ממשוואות צלעותיו
לדוגמה: הישר 4x − 3y = 12 וצירי השיעורים יוצרים משולש. מהו היקף המשולש?
תשובה ופתרון
התשובה: 12
מציבים y = 0 ומקבלים x = 3 , ומציבים x = 0 ומקבלים y = −4 . קודקודי המשולש הם (0, 0), (3, 0), (0, −4) . הניצבים הם 3 ו־ 4 , והיתר לפי משפט פיתגורס: 3² + 4² = 25 , ולכן אורכו 5 . ההיקף הוא 3 + 4 + 5 = 12 .
מרובע לפי קודקודיו
לדוגמה: קודקודי המרובע ABCD הם A(−2, 2) , B(−4, −4) , C(1, −6) ו־ D(3, 0) .
מהו השם המדויק ביותר של המרובע?- מלבן
- טרפז
- אף אחד מאלה
- מקבילית
תשובה ופתרון
התשובה: מקבילית
השיפועים של הצלעות, לפי הסדר: m₁ = 3 , m₂ = −2/5 , m₃ = 3 ו־ m₄ = −2/5 . שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילים: m₁ = m₃, m₂ = m₄ . מכפלת השיפועים של שתי צלעות סמוכות היא m₁ · m₂ = −6/5 , ולא −1 . לכן אין במרובע זווית ישרה, והוא מקבילית.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחות אנליטיות · משוואת מעגל · שטח מצולע כללי.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).