# מצולעים במערכת צירים לכיתה י״ב · 3 יח״ל

> מצולעים במערכת צירים לכיתה י״ב · 3 יח״ל: שיפוע הישר, משולש לפי קודקודיו, שטחים, מצולע ממשוואות צלעותיו ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא מצולעים במערכת צירים בכיתה י״ב · 3 יח״ל לומדים שיפוע הישר, משולש לפי קודקודיו, שטחים, מצולע ממשוואות צלעותיו ומרובע לפי קודקודיו.

כשקודקודי המצולע נתונים במערכת צירים, אפשר לחשב בעזרת השיעורים כמעט כל דבר: אורכי צלעות, היקף, שטח, ואפילו את סוג המצולע. אורך של קטע מוצאים לפי משפט פיתגורס, מההפרש בין שיעורי האיקס ומההפרש בין שיעורי הוואי.

השיפוע של ישר הוא השינוי בוואי חלקי השינוי באיקס. ישרים מקבילים כאשר השיפועים שלהם שווים, ומאונכים כאשר מכפלת השיפועים היא מינוס אחת. כך מזהים מקבילית, מלבן וטרפז, ובודקים אם יש במשולש זווית ישרה.

לשטח נוח לבחור צלע שמקבילה לאחד הצירים: האורך שלה והגובה אליה הם הפרשים של שיעור אחד בלבד. כשהצלעות נתונות כמשוואות, מוצאים קודקוד בכל מקום שבו שני ישרים נפגשים.

**טיפ:** משרטטים את הנקודות במערכת צירים לפני שמחשבים. הציור מראה איזו צלע מקבילה לציר ואיפה כדאי להתחיל.

## מה לומדים בנושא

### שיפוע הישר

- דוגמה: ישר עובר בנקודות A(7, −5), B(10, 1) . מהו השיפוע של הישר? (שתי נקודות במערכת צירים, והישר שעובר בהן.)
- תשובה: 2
- פתרון: השיפוע הוא (1 − (−5)) : (10 − 7) , כלומר 6 : 3 = 2 .

### משולש לפי קודקודיו

- דוגמה: קודקודי המשולש הם A(2, −7) , B(5, −3) ו־ C(2, 1) . (משולש במערכת צירים, וקודקודיו מסומנים באותיות) מהו היקף המשולש?
- תשובה: 18
- פתרון: ריבועי הצלעות לפי משפט פיתגורס: AB² = 3² + 4² = 25 , ולכן AB = 5 , BC² = 3² + 4² = 25 , ולכן BC = 5 , AC = 8 . ההיקף הוא 5 + 5 + 8 = 18 .

### שטחים

- דוגמה: קודקודי המשולש ABC הם A(−3, 5) , B(−1, 8) ו־ C(−6, 8) . (משולש במערכת צירים, וקודקודיו מסומנים באותיות) מהו שטח המשולש?
- תשובה: 7.5
- פתרון: הצלע BC מקבילה לציר האיקס, ואורכה 5 . הגובה אליה הוא |5 − 8| = 3 . השטח הוא 5 · 3 : 2 = 7.5 .

### מצולע ממשוואות צלעותיו

- דוגמה: הישר 4x − 3y = 12 וצירי השיעורים יוצרים משולש. מהו היקף המשולש?
- תשובה: 12
- פתרון: מציבים y = 0 ומקבלים x = 3 , ומציבים x = 0 ומקבלים y = −4 . קודקודי המשולש הם (0, 0), (3, 0), (0, −4) . הניצבים הם 3 ו־ 4 , והיתר לפי משפט פיתגורס: 3² + 4² = 25 , ולכן אורכו 5 . ההיקף הוא 3 + 4 + 5 = 12 .

### מרובע לפי קודקודיו

- דוגמה: קודקודי המרובע ABCD הם A(−2, 2) , B(−4, −4) , C(1, −6) ו־ D(3, 0) . (מרובע במערכת צירים, וקודקודיו מסומנים באותיות) מהו השם המדויק ביותר של המרובע?
- אפשרויות: מלבן · טרפז · אף אחד מאלה · מקבילית
- תשובה: מקבילית
- פתרון: השיפועים של הצלעות, לפי הסדר: m₁ = 3 , m₂ = −2/5 , m₃ = 3 ו־ m₄ = −2/5 . שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילים: m₁ = m₃, m₂ = m₄ . מכפלת השיפועים של שתי צלעות סמוכות היא m₁ · m₂ = −6/5 , ולא −1 . לכן אין במרובע זווית ישרה, והוא מקבילית.

## עוד לא באתר

- הוכחות אנליטיות
- משוואת מעגל
- שטח מצולע כללי

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״ב · 3 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-12-3u/)