זהויות טריגונומטריות ויישומן לכיתה י״א · 5 יח״ל

בנושא זהויות טריגונומטריות ויישומן בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים פישוט בעזרת הזהויות הבסיסיות, סינוס וקוסינוס של סכום ושל הפרש, הזהויות של זווית כפולה, משוואות שנפתרות בעזרת זהויות, זוויות בצורות במישור בעזרת זהויות וזוויות ואורכים בגופים. זהות טריגונומטרית נכונה לכל זווית. מלבד הזהות שסכום הריבועים של הסינוס ושל הקוסינוס שווה לאחת, יש זהויות לסינוס ולקוסינוס של סכום ושל הפרש של שתי זוויות, ומהן נובעות הזהויות של הזווית הכפולה: הסינוס של זווית כפולה שווה לפעמיים הסינוס כפול הקוסינוס, והקוסינוס של זווית כפולה שווה לריבוע הקוסינוס פחות ריבוע הסינוס. יש גם זהויות שהופכות סכום של שני סינוסים או של שני קוסינוסים למכפלה. בעזרת הזהויות מפשטים ביטויים, פותרים משוואות ומחשבים זוויות וקטעים בצורות במישור. בגופים, כמו פירמידה וחרוט, זו היכרות ראשונה, בלי משפטים של גאומטריה במרחב: מוצאים בתוך הגוף משולש ישר זווית ופותרים אותו.

הוכחה לדוגמה: הקוסינוס של הפרש שתי זוויות. על מעגל היחידה מסמנים שתי נקודות: הנקודה של הזווית אלפא, שהשיעורים שלה הם הקוסינוס והסינוס של אלפא, והנקודה של הזווית בטא, שהשיעורים שלה הם הקוסינוס והסינוס של בטא. הזווית שביניהן, במרכז המעגל, היא אלפא פחות בטא. את ריבוע המרחק בין שתי הנקודות מחשבים בשתי דרכים. לפי השיעורים, הוא ריבוע ההפרש של הקוסינוסים ועוד ריבוע ההפרש של הסינוסים. פותחים סוגריים, וכל ריבוע של סינוס ועוד ריבוע הקוסינוס של אותה זווית שווה לאחת, ולכן מתקבל שתיים פחות פעמיים הסכום של קוסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא ושל סינוס אלפא כפול סינוס בטא. לפי משפט הקוסינוסים במשולש שקודקודיו המרכז ושתי הנקודות, ששתי הצלעות שלו שיוצאות מהמרכז הן רדיוסים באורך אחת, ריבוע המרחק הוא שתיים פחות פעמיים הקוסינוס של אלפא פחות בטא. משווים את שתי הדרכים, ומקבלים שהקוסינוס של אלפא פחות בטא שווה לקוסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, ועוד סינוס אלפא כפול סינוס בטא. נגזר מהזהות שהוכחנו: הקוסינוס של סכום. מציבים מינוס בטא במקום בטא. הקוסינוס של מינוס בטא שווה לקוסינוס של בטא, והסינוס של מינוס בטא הוא מינוס הסינוס של בטא. לכן הקוסינוס של אלפא ועוד בטא שווה לקוסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, פחות סינוס אלפא כפול סינוס בטא. נגזר מהזהות שהוכחנו: הסינוס של סכום. הסינוס של זווית שווה לקוסינוס של תשעים מעלות פחות הזווית, ולכן הסינוס של אלפא ועוד בטא הוא הקוסינוס של תשעים מעלות פחות אלפא, פחות בטא. לפי הזהות שהוכחנו, זה הקוסינוס של תשעים מעלות פחות אלפא כפול קוסינוס בטא, ועוד הסינוס של תשעים מעלות פחות אלפא כפול סינוס בטא, כלומר סינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, ועוד קוסינוס אלפא כפול סינוס בטא. נגזר מהזהות שהוכחנו: הסינוס של הפרש. מציבים מינוס בטא במקום בטא בזהות של הסינוס של סכום, ומקבלים שהסינוס של אלפא פחות בטא שווה לסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, פחות קוסינוס אלפא כפול סינוס בטא. מהזהויות של הסכום נובעות גם הזהויות של הזווית הכפולה: מציבים בטא שווה לאלפא.

טיפ: לפני שמחלקים משוואה בסינוס או בקוסינוס, בודקים אם הוא יכול להיות אפס. עדיף להוציא גורם משותף, וכך לא מאבדים פתרונות.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת שלוש הזהויות האחרות (שלוש פסקאות גזירה בהסבר, קריאה מודרכת) · הוכחות גאומטריות בעזרת טריגונומטריה (לא ניתן לבדיקה אוטומטית) · משפטים של גאומטריה במרחב (כיתה י״ב).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←