# זהויות טריגונומטריות ויישומן לכיתה י״א · 5 יח״ל

> זהויות טריגונומטריות ויישומן לכיתה י״א · 5 יח״ל: פישוט בעזרת הזהויות הבסיסיות, הזהויות של זווית כפולה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא זהויות טריגונומטריות ויישומן בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים פישוט בעזרת הזהויות הבסיסיות, סינוס וקוסינוס של סכום ושל הפרש, הזהויות של זווית כפולה, משוואות שנפתרות בעזרת זהויות, זוויות בצורות במישור בעזרת זהויות וזוויות ואורכים בגופים.

זהות טריגונומטרית נכונה לכל זווית. מלבד הזהות שסכום הריבועים של הסינוס ושל הקוסינוס שווה לאחת, יש זהויות לסינוס ולקוסינוס של סכום ושל הפרש של שתי זוויות, ומהן נובעות הזהויות של הזווית הכפולה: הסינוס של זווית כפולה שווה לפעמיים הסינוס כפול הקוסינוס, והקוסינוס של זווית כפולה שווה לריבוע הקוסינוס פחות ריבוע הסינוס. יש גם זהויות שהופכות סכום של שני סינוסים או של שני קוסינוסים למכפלה. בעזרת הזהויות מפשטים ביטויים, פותרים משוואות ומחשבים זוויות וקטעים בצורות במישור. בגופים, כמו פירמידה וחרוט, זו היכרות ראשונה, בלי משפטים של גאומטריה במרחב: מוצאים בתוך הגוף משולש ישר זווית ופותרים אותו.

הוכחה לדוגמה: הקוסינוס של הפרש שתי זוויות. על מעגל היחידה מסמנים שתי נקודות: הנקודה של הזווית אלפא, שהשיעורים שלה הם הקוסינוס והסינוס של אלפא, והנקודה של הזווית בטא, שהשיעורים שלה הם הקוסינוס והסינוס של בטא. הזווית שביניהן, במרכז המעגל, היא אלפא פחות בטא. את ריבוע המרחק בין שתי הנקודות מחשבים בשתי דרכים. לפי השיעורים, הוא ריבוע ההפרש של הקוסינוסים ועוד ריבוע ההפרש של הסינוסים. פותחים סוגריים, וכל ריבוע של סינוס ועוד ריבוע הקוסינוס של אותה זווית שווה לאחת, ולכן מתקבל שתיים פחות פעמיים הסכום של קוסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא ושל סינוס אלפא כפול סינוס בטא. לפי משפט הקוסינוסים במשולש שקודקודיו המרכז ושתי הנקודות, ששתי הצלעות שלו שיוצאות מהמרכז הן רדיוסים באורך אחת, ריבוע המרחק הוא שתיים פחות פעמיים הקוסינוס של אלפא פחות בטא. משווים את שתי הדרכים, ומקבלים שהקוסינוס של אלפא פחות בטא שווה לקוסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, ועוד סינוס אלפא כפול סינוס בטא.

נגזר מהזהות שהוכחנו: הקוסינוס של סכום. מציבים מינוס בטא במקום בטא. הקוסינוס של מינוס בטא שווה לקוסינוס של בטא, והסינוס של מינוס בטא הוא מינוס הסינוס של בטא. לכן הקוסינוס של אלפא ועוד בטא שווה לקוסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, פחות סינוס אלפא כפול סינוס בטא.

נגזר מהזהות שהוכחנו: הסינוס של סכום. הסינוס של זווית שווה לקוסינוס של תשעים מעלות פחות הזווית, ולכן הסינוס של אלפא ועוד בטא הוא הקוסינוס של תשעים מעלות פחות אלפא, פחות בטא. לפי הזהות שהוכחנו, זה הקוסינוס של תשעים מעלות פחות אלפא כפול קוסינוס בטא, ועוד הסינוס של תשעים מעלות פחות אלפא כפול סינוס בטא, כלומר סינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, ועוד קוסינוס אלפא כפול סינוס בטא.

נגזר מהזהות שהוכחנו: הסינוס של הפרש. מציבים מינוס בטא במקום בטא בזהות של הסינוס של סכום, ומקבלים שהסינוס של אלפא פחות בטא שווה לסינוס אלפא כפול קוסינוס בטא, פחות קוסינוס אלפא כפול סינוס בטא. מהזהויות של הסכום נובעות גם הזהויות של הזווית הכפולה: מציבים בטא שווה לאלפא.

**טיפ:** לפני שמחלקים משוואה בסינוס או בקוסינוס, בודקים אם הוא יכול להיות אפס. עדיף להוציא גורם משותף, וכך לא מאבדים פתרונות.

## מה לומדים בנושא

### פישוט בעזרת הזהויות הבסיסיות

- דוגמה: פשטו את הביטוי (1 − cos²x) : sin x .
- אפשרויות: קוסינוס איקס cos x · טנגנס איקס tan x · אחת 1 · סינוס איקס sin x
- תשובה: סינוס איקס
- פתרון: לפי sin²x + cos²x = 1 , המונה 1 − cos²x שווה ל־ sin²x . מצמצמים ב־ sin x ונשאר sin x .

### סינוס וקוסינוס של סכום ושל הפרש

- דוגמה: מהו הערך המדויק של sin 75° ?
- אפשרויות: פותחים סוגריים שורש שש פחות שורש שתיים סוגרים סוגריים חלקי ארבע (√6 − √2) : 4 · פותחים סוגריים שורש שלוש ועוד אחת סוגרים סוגריים חלקי שתיים (√3 + 1) : 2 · פותחים סוגריים שורש שתיים פחות שורש שש סוגרים סוגריים חלקי ארבע (√2 − √6) : 4 · פותחים סוגריים שורש שש ועוד שורש שתיים סוגרים סוגריים חלקי ארבע (√6 + √2) : 4
- תשובה: פותחים סוגריים שורש שש ועוד שורש שתיים סוגרים סוגריים חלקי ארבע
- פתרון: כותבים 75° = 45° + 30° . לפי הזהות, sin 75° שווה לסכום sin 45° cos 30° ועוד cos 45° sin 30° , כלומר √6/4 + √2/4 . לכן הערך הוא (√6 + √2) : 4 .

### הזהויות של זווית כפולה

- דוגמה: הזווית α חדה, ו־ sin α = 3/5 , cos α = 4/5 . מהו sin 2α ?
- תשובה: 24/25
- פתרון: מציבים: 2 · 3/5 · 4/5 = 24/25 , כלומר sin 2α = 24/25 .

### משוואות שנפתרות בעזרת זהויות

- דוגמה: כמה פתרונות יש למשוואה sin 2x = sin x בתחום 0° ≤ x < 360° ?
- תשובה: 4
- פתרון: לפי sin 2x = 2 sin x cos x , מעבירים הכול לאגף אחד ומוציאים גורם משותף: (sin x)(2 cos x − 1) = 0 . הגורם sin x מתאפס כאשר x = 0°, 180° . הגורם 2 cos x − 1 מתאפס כאשר x = 60°, 300° . ביחד יש 4 פתרונות: 0°, 60°, 180°, 300° .

### זוויות בצורות במישור בעזרת זהויות

- דוגמה: אורך הצלע של הריבוע ABCD הוא 2. הנקודה E על הצלע BC והנקודה F על הצלע CD , ו־ BE = DF = 1 . מהו sin ∢EAF ? (ריבוע, ושני קטעים מאחד הקודקודים אל שתי הצלעות הרחוקות ממנו.)
- תשובה: 3/5
- פתרון: במשולש ABE היתר הוא √5 , ולכן sin θ = 1 : √5 ו־ cos θ = 2 : √5 . הזווית ∢EAF היא 90° − 2θ , ולכן sin ∢EAF שווה לביטוי cos 2θ . לפי הזהות cos 2θ = cos²θ − sin²θ , הערך הוא 3/5 , ולכן sin ∢EAF = 3/5 .

### זוויות ואורכים בגופים

- דוגמה: בפירמידה ישרה שהבסיס שלה ריבוע, אורך צלע הבסיס 4 והגובה 9. מהו הטנגנס של הזווית שבין גובה של פאה צדדית (הקטע מהקודקוד העליון אל אמצע צלע הבסיס) לבין הבסיס? (פירמידה ישרה שהבסיס שלה ריבוע.)
- תשובה: 9/2
- פתרון: הגובה יורד אל מרכז הריבוע, ומשם אל אמצע הצלע המרחק הוא חצי צלע: 2. לכן הטנגנס הוא 9/2 .

## עוד לא באתר

- הוכחת שלוש הזהויות האחרות (שלוש פסקאות גזירה בהסבר, קריאה מודרכת)
- הוכחות גאומטריות בעזרת טריגונומטריה (לא ניתן לבדיקה אוטומטית)
- משפטים של גאומטריה במרחב (כיתה י״ב)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-5u/)