פונקציות טריגונומטריות: גזירה, חקירה ושימושים לכיתה י״א · 5 יח״ל
בנושא פונקציות טריגונומטריות: גזירה, חקירה ושימושים בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים הפרמטרים של גל, הנגזרות של סינוס, קוסינוס וטנגנס, חקירה של פונקציה טריגונומטרית, משיקים לגרפים של סינוס וקוסינוס, אינטגרלים ושטחים, מודלים מחזוריים ופונקציות מחזוריות. הפונקציות סינוס וקוסינוס חוזרות על עצמן כל סיבוב שלם, ולכן הן מתאימות לתאר תופעות שחוזרות: גלגל ענק, גאות ושפל, אוכלוסייה שגדלה וקטנה לפי עונות השנה. בפרק הזה הזוויות נמדדות ברדיאנים, וסיבוב שלם הוא שני פאי.
בפונקציה מהצורה של מספר כפול סינוס, ועוד מספר, המספר שבחוץ מותח את הגל לגובה, והמספר שמתווסף מזיז אותו למעלה או למטה. המספר שכופל את המשתנה בתוך הסינוס קובע כמה גלים יש בסיבוב אחד: המחזור הוא שני פאי חלקי המספר הזה. הנגזרת של סינוס היא קוסינוס, והנגזרת של קוסינוס היא מינוס סינוס. בעזרתן מוצאים שיפוע של משיק, נקודות קיצון וערכים גדולים וקטנים ביותר, בדיוק כמו בפונקציות אחרות. מכאן גם האינטגרלים: הפונקציה הקדומה של קוסינוס היא סינוס, ושל סינוס היא מינוס קוסינוס.
טיפ: כשמחפשים ערך גדול ביותר בקטע, משווים את הערכים בנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת גם לערכים בקצות הקטע.
מה לומדים בנושא
הפרמטרים של גל
לדוגמה: מהו המחזור של הפונקציה f(x) = sin(x / 2) ?
תשובה ופתרון
התשובה: 4π
הפונקציה חוזרת על עצמה כאשר x / 2 עובר סיבוב שלם, 2π . לכן המחזור הוא 2π · 2 = 4π .
הנגזרות של סינוס, קוסינוס וטנגנס
לדוגמה: הפונקציה היא f(x) = sin x . מהו f′(5π/3) ?
תשובה ופתרון
התשובה: 1/2
הנגזרת היא f′(x) = cos x , ולכן f′(5π/3) = cos(5π/3) , כלומר 1/2 .
חקירה של פונקציה טריגונומטרית
לדוגמה: באיזה x בקטע 0 ≤ x ≤ 2π הפונקציה f(x) = sin x + cos x מקבלת את הערך הגדול ביותר שלה?
תשובה ופתרון
התשובה: π/4
הנגזרת היא f′(x) = cos x − sin x . היא מתאפסת כאשר sin x = cos x , כלומר ב־ x = π/4 וב־ x = 5π/4 . שם f(π/4) = √2 ו־ f(5π/4) = −√2 , ובקצות הקטע הערך הוא 1. לכן הערך הגדול ביותר מתקבל ב־ x = π/4 .
משיקים לגרפים של סינוס וקוסינוס
לדוגמה: מהו השיפוע של המשיק לגרף של f(x) = sin x בנקודה שבה x = π ?
תשובה ופתרון
התשובה: −1
השיפוע הוא f′(π) = cos(π) , כלומר −1 .
אינטגרלים ושטחים
לדוגמה: מהו הערך של ∫₀^(π/2) sin x dx ?
תשובה ופתרון
התשובה: 1
הפונקציה הקדומה של sin x היא −cos x . בגבול העליון ערכה 0 , ובגבול התחתון −1 . לכן 0 − (−1) = 1 .
מודלים מחזוריים
לדוגמה: גלגל ענק בקוטר 40 מטרים מסתובב סיבוב אחד בדקה, והמרכז שלו בגובה 30 מטרים. הגובה של תא אחרי t דקות הוא h(t) = 30 + 20 sin(2πt) מטרים. מהו הגובה הגדול ביותר של התא?
תשובה ופתרון
התשובה: 50
הגובה הגדול ביותר מתקבל כשהסינוס שווה ל־ 1 : 30 + 20 = 50 מטרים.
פונקציות מחזוריות
לדוגמה: מהו המחזור של הפונקציה f(x) = sin 2x + cos 2x ?
תשובה ופתרון
התשובה: π
לשני האיברים אותו מחזור, 2π : 2 , ולכן גם לסכום: π .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת הגבול של סינוס של זווית חלקי הזווית (קריאה) · תנועה הרמונית של קפיץ (בתוכנית, נדחה ביישום) · גלי קול (העשרה לפי המקור) · חקירה של מכפלה ושל מנה של פונקציות טריגונומטריות, ושל פולינום או שורש של פונקציה טריגונומטרית (בתוכנית, נדחה ביישום) · המחזור של מכפלה של שתי פונקציות מחזוריות, והמשפט הכללי על המחזור של סכום (העשרה).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).