סדרה חשבונית וסדרה הנדסית לכיתה י״א · 5 יח״ל

בנושא סדרה חשבונית וסדרה הנדסית בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים כלל של סדרה: נוסחה לאיבר הכללי ונוסחת נסיגה, סדרה חשבונית: האיבר הכללי, סכום של סדרה חשבונית, סדרה הנדסית: האיבר הכללי, סכום של סדרה הנדסית, סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, תכונות של סדרות וסדרה בגרף. סדרה היא רשימה של מספרים לפי סדר. אפשר לתאר אותה בנוסחה לאיבר הכללי, שנותנת כל איבר לפי מקומו, או בנוסחת נסיגה, שנותנת כל איבר לפי האיבר שלפניו.

בסדרה חשבונית ההפרש בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע, והוא נקרא הפרש הסדרה. כדי להגיע לאיבר במקום מסוים מוסיפים לאיבר הראשון את ההפרש, פעם אחת פחות ממספר המקום. סכום האיברים עד מקום מסוים הוא סכום הראשון והאחרון, כפול מספר האיברים, חלקי שתיים. בסדרה הנדסית המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה, והיא נקראת מנת הסדרה. כדי להגיע לאיבר במקום מסוים כופלים את האיבר הראשון במנה, פעם אחת פחות ממספר המקום. כשהערך המוחלט של המנה קטן מאחת, לסכום כל איברי הסדרה האינסופית יש ערך סופי: האיבר הראשון חלקי אחת פחות המנה.

טיפ: לפני שמחשבים, בודקים אם השינוי מאיבר לאיבר הוא הוספה קבועה או כפל קבוע.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

כלל של סדרה: נוסחה לאיבר הכללי ונוסחת נסיגה

לדוגמה: סדרה מוגדרת על ידי a₁ = −7 ו־ aₙ₊₁ = aₙ + 5 . מהו האיבר הרביעי בסדרה?

תשובה ופתרון

התשובה: 8

בזה אחר זה: a₂ = −7 + 5 = −2 , a₃ = −2 + 5 = 3 , a₄ = 3 + 5 = 8 .

סדרה חשבונית: האיבר הכללי

לדוגמה: בסדרה חשבונית a₁ = 9 ו־ d = −4 . מהו a₂₀ ?

תשובה ופתרון

התשובה: −67

לפי הנוסחה a₂₀ = 9 + 19 · (−4) = −67 .

סכום של סדרה חשבונית

לדוגמה: בסדרה חשבונית a₁ = −8 ו־ d = 5 . מהו S₉ , הסכום של 9 האיברים הראשונים?

תשובה ופתרון

התשובה: 108

האיבר האחרון: a₉ = −8 + 8 · 5 = 32 . לכן a₁ + a₉ = 24 , והסכום S₉ = 24 · 9 : 2 = 108 .

סדרה הנדסית: האיבר הכללי

לדוגמה: בסדרה הנדסית a₁ = 3 ו־ q = 2 . מהו a₆ ?

תשובה ופתרון

התשובה: 96

לפי הנוסחה a₆ = 3 · 2⁵ , ו־ 2⁵ = 32 . לכן a₆ = 96 .

סכום של סדרה הנדסית

לדוגמה: שלושת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית הם 1, 2, 4 . מהו S₉ , הסכום של 9 האיברים הראשונים?

תשובה ופתרון

התשובה: 511

כאן a₁ = 1 ו־ q = 2 , ולכן q − 1 = 1 . הסכום: S₉ = 1 · (2⁹ − 1) = 1 · 511 = 511 .

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

לדוגמה: בסדרה הנדסית אינסופית a₁ = −9 ו־ q = −1 . האם לסכום כל איבריה יש ערך סופי?

תשובה ופתרון

התשובה: לא, כי הערך המוחלט של קיו גדול או שווה לאחת

כאן |q| = 1 , וזה לא קטן מאחת. לא, כי |q| ≥ 1 : האיברים אינם שואפים לאפס, ולכן לסכום אין ערך סופי.

תכונות של סדרות

לדוגמה: הסדרה aₙ = 4 + n היא סדרה חשבונית. איזו מהסדרות הבאות היא גם סדרה חשבונית?

תשובה ופתרון

התשובה: אֵיי אֶן ועוד שלוש

בסדרה aₙ + 3 כל איבר גדול ב־ 3 מהאיבר המקורי, ולכן ההפרש בין איברים עוקבים נשאר 1 . בסדרה aₙ² האיברים הראשונים הם 25, 36, 49 , וההפרשים 11 ו־ 13 שונים. בסדרה 1 : aₙ האיברים הראשונים הם 1/5, 1/6, 1/7 , וההפרשים −1/30 ו־ −1/42 שונים. בסדרה 2^(aₙ) האיברים הראשונים הם 32, 64, 128 , וההפרשים 32 ו־ 64 שונים.

סדרה בגרף

לדוגמה: בגרף מסומנים ששת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית, כנקודות (n, aₙ) . מהו הפרש הסדרה?

תשובה ופתרון

התשובה: 3

בגרף a₁ = −4 ו־ a₂ = −1 , ולכן d = −1 − (−4) = 3 . כל נקודה גבוהה מקודמתה באותה מידה.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: גבולות בלשון "לכל מספר קטן כרצוננו" · הצגה עשרונית כסדרה הנדסית (העשרה) · מציאת מקום בעזרת לוגריתמים (לא בתוכנית).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←