# סדרה חשבונית וסדרה הנדסית לכיתה י״א · 5 יח״ל

> סדרה חשבונית וסדרה הנדסית לכיתה י״א · 5 יח״ל: כלל של סדרה: נוסחה לאיבר הכללי ונוסחת נסיגה, סדרה בגרף ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא סדרה חשבונית וסדרה הנדסית בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים כלל של סדרה: נוסחה לאיבר הכללי ונוסחת נסיגה, סדרה חשבונית: האיבר הכללי, סכום של סדרה חשבונית, סדרה הנדסית: האיבר הכללי, סכום של סדרה הנדסית, סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, תכונות של סדרות וסדרה בגרף.

סדרה היא רשימה של מספרים לפי סדר. אפשר לתאר אותה בנוסחה לאיבר הכללי, שנותנת כל איבר לפי מקומו, או בנוסחת נסיגה, שנותנת כל איבר לפי האיבר שלפניו.

בסדרה חשבונית ההפרש בין כל איבר לאיבר שלפניו קבוע, והוא נקרא הפרש הסדרה. כדי להגיע לאיבר במקום מסוים מוסיפים לאיבר הראשון את ההפרש, פעם אחת פחות ממספר המקום. סכום האיברים עד מקום מסוים הוא סכום הראשון והאחרון, כפול מספר האיברים, חלקי שתיים.

בסדרה הנדסית המנה בין כל איבר לאיבר שלפניו קבועה, והיא נקראת מנת הסדרה. כדי להגיע לאיבר במקום מסוים כופלים את האיבר הראשון במנה, פעם אחת פחות ממספר המקום. כשהערך המוחלט של המנה קטן מאחת, לסכום כל איברי הסדרה האינסופית יש ערך סופי: האיבר הראשון חלקי אחת פחות המנה.

**טיפ:** לפני שמחשבים, בודקים אם השינוי מאיבר לאיבר הוא הוספה קבועה או כפל קבוע.

## מה לומדים בנושא

### כלל של סדרה: נוסחה לאיבר הכללי ונוסחת נסיגה

- דוגמה: סדרה מוגדרת על ידי a₁ = −7 ו־ aₙ₊₁ = aₙ + 5 . מהו האיבר הרביעי בסדרה?
- תשובה: 8
- פתרון: בזה אחר זה: a₂ = −7 + 5 = −2 , a₃ = −2 + 5 = 3 , a₄ = 3 + 5 = 8 .

### סדרה חשבונית: האיבר הכללי

- דוגמה: בסדרה חשבונית a₁ = 9 ו־ d = −4 . מהו a₂₀ ?
- תשובה: −67
- פתרון: לפי הנוסחה a₂₀ = 9 + 19 · (−4) = −67 .

### סכום של סדרה חשבונית

- דוגמה: בסדרה חשבונית a₁ = −8 ו־ d = 5 . מהו S₉ , הסכום של 9 האיברים הראשונים?
- תשובה: 108
- פתרון: האיבר האחרון: a₉ = −8 + 8 · 5 = 32 . לכן a₁ + a₉ = 24 , והסכום S₉ = 24 · 9 : 2 = 108 .

### סדרה הנדסית: האיבר הכללי

- דוגמה: בסדרה הנדסית a₁ = 3 ו־ q = 2 . מהו a₆ ?
- תשובה: 96
- פתרון: לפי הנוסחה a₆ = 3 · 2⁵ , ו־ 2⁵ = 32 . לכן a₆ = 96 .

### סכום של סדרה הנדסית

- דוגמה: שלושת האיברים הראשונים של סדרה הנדסית הם 1, 2, 4 . מהו S₉ , הסכום של 9 האיברים הראשונים?
- תשובה: 511
- פתרון: כאן a₁ = 1 ו־ q = 2 , ולכן q − 1 = 1 . הסכום: S₉ = 1 · (2⁹ − 1) = 1 · 511 = 511 .

### סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

- דוגמה: בסדרה הנדסית אינסופית a₁ = −9 ו־ q = −1 . האם לסכום כל איבריה יש ערך סופי?
- אפשרויות: כן, כי הערך המוחלט של קיו קטן מאחת כן, כי |q| < 1 · לא, כי הערך המוחלט של קיו גדול או שווה לאחת לא, כי |q| ≥ 1
- תשובה: לא, כי הערך המוחלט של קיו גדול או שווה לאחת
- פתרון: כאן |q| = 1 , וזה לא קטן מאחת. לא, כי |q| ≥ 1 : האיברים אינם שואפים לאפס, ולכן לסכום אין ערך סופי.

### תכונות של סדרות

- דוגמה: הסדרה aₙ = 4 + n היא סדרה חשבונית. איזו מהסדרות הבאות היא גם סדרה חשבונית?
- אפשרויות: אֵיי אֶן בריבוע aₙ² · אחת חלקי אֵיי אֶן 1 : aₙ · שתיים בחזקת אֵיי אֶן, 2^(aₙ) · אֵיי אֶן ועוד שלוש aₙ + 3
- תשובה: אֵיי אֶן ועוד שלוש
- פתרון: בסדרה aₙ + 3 כל איבר גדול ב־ 3 מהאיבר המקורי, ולכן ההפרש בין איברים עוקבים נשאר 1 . בסדרה aₙ² האיברים הראשונים הם 25, 36, 49 , וההפרשים 11 ו־ 13 שונים. בסדרה 1 : aₙ האיברים הראשונים הם 1/5, 1/6, 1/7 , וההפרשים −1/30 ו־ −1/42 שונים. בסדרה 2^(aₙ) האיברים הראשונים הם 32, 64, 128 , וההפרשים 32 ו־ 64 שונים.

### סדרה בגרף

- דוגמה: בגרף מסומנים ששת האיברים הראשונים של סדרה חשבונית, כנקודות (n, aₙ) . מהו הפרש הסדרה? (שש נקודות במערכת צירים, במקומות אחד עד שש, בגבהים −4, −1, 2, 5, 8, 11)
- תשובה: 3
- פתרון: בגרף a₁ = −4 ו־ a₂ = −1 , ולכן d = −1 − (−4) = 3 . כל נקודה גבוהה מקודמתה באותה מידה.

## עוד לא באתר

- גבולות בלשון "לכל מספר קטן כרצוננו"
- הצגה עשרונית כסדרה הנדסית (העשרה)
- מציאת מקום בעזרת לוגריתמים (לא בתוכנית)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-5u/)