קצב השינוי, קעירות ונקודות פיתול לכיתה י״א · 5 יח״ל

בנושא קצב השינוי, קעירות ונקודות פיתול בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים קעירות: היכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה, חישוב הנגזרת השנייה, נקודות פיתול, סוג נקודת הקיצון לפי הנגזרת השנייה, הפונקציה, הנגזרת והנגזרת השנייה בגרפים, מהירות ותאוצה וקצב השינוי של קצב בבעיות. הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת, והיא מתארת את קצב השינוי של קצב השינוי. אצל גוף בתנועה הנגזרת של המיקום היא המהירות, והנגזרת השנייה היא התאוצה. הגודל של המהירות גדל כשלמהירות ולתאוצה אותו סימן.

היכן שהנגזרת השנייה חיובית הנגזרת עולה, והגרף קעור כלפי מעלה: המשיק מתחת לגרף, והמיתר מעליו. היכן שהיא שלילית הגרף קעור כלפי מטה. נקודת פיתול היא נקודה שבה כיוון הקעירות מתחלף, ולכן הנגזרת השנייה מחליפה בה סימן. לפולינום ממעלה שנייה אין אף פעם נקודת פיתול, לפולינום ממעלה שלישית יש תמיד אחת, ולפולינום ממעלה רביעית יש לפעמים ולפעמים אין. גם לשורש של איקס יש נגזרת שנייה, והיא שלילית, ולכן הגרף שלו קעור כלפי מטה. יש ארבע דרכים להכריע אם נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא מקסימום או מינימום: טבלת הסימנים של הנגזרת, הצבת ערכים בפונקציה משני הצדדים, הגרף, והנגזרת השנייה. אם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה, זו נקודת מינימום, ואם היא שלילית, זו נקודת מקסימום. אם היא שווה לאפס היא אינה מכריעה, וחוזרים לטבלת הסימנים של הנגזרת. בבעיות הנגזרת השנייה עונה על השאלה מתי משהו משתנה הכי מהר. אורך היום עולה הכי מהר בנקודת הפיתול של הגרף שלו, בין היום הקצר ליום הארוך. אחרי שפסולת נשפכת לאגם רמת החמצן יורדת ואז חוזרת ועולה, והיא עולה הכי מהר היכן שהנגזרת השנייה עוברת מחיובית לשלילית. יש ארבעה סוגים של נקודות פיתול: עם משיק אופקי או משופע, בגרף עולה או בגרף יורד.

טיפ: כדי למצוא נקודת פיתול לא מספיק שהנגזרת השנייה מתאפסת: בודקים בטבלת סימנים שהיא גם מחליפה סימן.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

קעירות: היכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² + 6x − 7 . מה נכון לגבי הקעירות שלה?

תשובה ופתרון

התשובה: קעורה כלפי מטה לכל ערך של איקס

גוזרים: f′(x) = −6x + 6 , ולכן f″(x) = −6 , שלילית לכל ערך של x . לכן הפונקציה קעורה כלפי מטה לכל ערך של x .

חישוב הנגזרת השנייה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x³ + 5x² − 7x . מצאו את הנגזרת השנייה שלה.

תשובה ופתרון

התשובה: −18x + 10

גוזרים: f′(x) = −9x² + 10x − 7 , ולכן f″(x) = −18x + 10 .

נקודות פיתול

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 12x² − 5x . באיזה ערך של x יש לה נקודת פיתול?

תשובה ופתרון

התשובה: 4

גוזרים: f′(x) = 3x² − 24x − 5 ו־ f″(x) = 6x − 24 . הנגזרת השנייה f″ מתאפסת כאשר x = 4 : לפני כן היא שלילית, ואחרי כן חיובית. לכן יש נקודת פיתול כאשר x = 4 .

סוג נקודת הקיצון לפי הנגזרת השנייה

לדוגמה: לפונקציה f מתקיים f′(−4) = 0 ו־ f″(−4) = 6 . איזו נקודה יש לפונקציה כאשר x = −4 ?

תשובה ופתרון

התשובה: נקודת מינימום

הנגזרת מתאפסת, והנגזרת השנייה חיובית, ולכן זו נקודת מינימום.

הפונקציה, הנגזרת והנגזרת השנייה בגרפים

לדוגמה: בציור הראשון הגרף של הפונקציה y = f(x) , פולינום ממעלה שלישית. איזה מהגרפים שאחריו הוא הגרף של הנגזרת השנייה f″ ?

גרף א: גרף ב: גרף ג:

תשובה ופתרון

התשובה: גרף א

הגרף קעור כלפי מטה ואחר כך כלפי מעלה, ונקודת הפיתול כאשר x = 1 . לכן f″ היא ישר עולה שחותך את הציר האופקי כאשר x = 1 : זה גרף א. הפרבולה היא הגרף של f′ .

מהירות ותאוצה

לדוגמה: גוף נע על קו ישר, והמיקום שלו ביחס לנקודת המוצא אחרי t שניות הוא s(t) = −2t³ + 5t² − 7t + 4 מטרים. מהי המהירות שלו כאשר t = 5 ?

תשובה ופתרון

התשובה: −107

המהירות: v(t) = −6t² + 10t − 7 . מציבים t = 5 : −6 · 5² + 10 · 5 − 7 = −107 .

קצב השינוי של קצב בבעיות

לדוגמה: הגרף של אורך היום לפי התאריך עולה מהיום הקצר בשנה אל היום הארוך בה, ואחר כך יורד שוב. היכן בגרף אורך היום גדל הכי מהר?

תשובה ופתרון

התשובה: בנקודת פיתול של הגרף

בנקודות הקיצון של הגרף, אורך היום כמעט לא משתנה: הנגזרת שווה שם ל־0. בדרך מהמינימום אל המקסימום השינוי הכי מהיר בנקודה שבה הגרף משנה את כיוון הקעירות: בנקודת פיתול.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: סרטוט סקיצה (לא ניתן לבדיקה אוטומטית) · נקודות פיתול שבהן הנגזרת אינה מוגדרת · רציפות וגזירות מתוך גרף · הנגזרת השנייה של פונקציה רציונלית או פונקציית שורש (נדחה ביישום: הפולינומים בלבד בגל הזה).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←