# קצב השינוי, קעירות ונקודות פיתול לכיתה י״א · 5 יח״ל

> קצב השינוי, קעירות ונקודות פיתול לכיתה י״א · 5 יח״ל: קעירות: היכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא קצב השינוי, קעירות ונקודות פיתול בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים קעירות: היכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה, חישוב הנגזרת השנייה, נקודות פיתול, סוג נקודת הקיצון לפי הנגזרת השנייה, הפונקציה, הנגזרת והנגזרת השנייה בגרפים, מהירות ותאוצה וקצב השינוי של קצב בבעיות.

הנגזרת השנייה היא הנגזרת של הנגזרת, והיא מתארת את קצב השינוי של קצב השינוי. אצל גוף בתנועה הנגזרת של המיקום היא המהירות, והנגזרת השנייה היא התאוצה. הגודל של המהירות גדל כשלמהירות ולתאוצה אותו סימן.

היכן שהנגזרת השנייה חיובית הנגזרת עולה, והגרף קעור כלפי מעלה: המשיק מתחת לגרף, והמיתר מעליו. היכן שהיא שלילית הגרף קעור כלפי מטה. נקודת פיתול היא נקודה שבה כיוון הקעירות מתחלף, ולכן הנגזרת השנייה מחליפה בה סימן. לפולינום ממעלה שנייה אין אף פעם נקודת פיתול, לפולינום ממעלה שלישית יש תמיד אחת, ולפולינום ממעלה רביעית יש לפעמים ולפעמים אין. גם לשורש של איקס יש נגזרת שנייה, והיא שלילית, ולכן הגרף שלו קעור כלפי מטה.

יש ארבע דרכים להכריע אם נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא מקסימום או מינימום: טבלת הסימנים של הנגזרת, הצבת ערכים בפונקציה משני הצדדים, הגרף, והנגזרת השנייה. אם הנגזרת השנייה חיובית בנקודה, זו נקודת מינימום, ואם היא שלילית, זו נקודת מקסימום. אם היא שווה לאפס היא אינה מכריעה, וחוזרים לטבלת הסימנים של הנגזרת.

בבעיות הנגזרת השנייה עונה על השאלה מתי משהו משתנה הכי מהר. אורך היום עולה הכי מהר בנקודת הפיתול של הגרף שלו, בין היום הקצר ליום הארוך. אחרי שפסולת נשפכת לאגם רמת החמצן יורדת ואז חוזרת ועולה, והיא עולה הכי מהר היכן שהנגזרת השנייה עוברת מחיובית לשלילית. יש ארבעה סוגים של נקודות פיתול: עם משיק אופקי או משופע, בגרף עולה או בגרף יורד.

**טיפ:** כדי למצוא נקודת פיתול לא מספיק שהנגזרת השנייה מתאפסת: בודקים בטבלת סימנים שהיא גם מחליפה סימן.

## מה לומדים בנושא

### קעירות: היכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה או כלפי מטה

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x² + 6x − 7 . מה נכון לגבי הקעירות שלה?
- אפשרויות: קעורה כלפי מעלה לכל ערך של איקס קעורה כלפי מעלה לכל ערך של x · קעורה כלפי מעלה רק כאשר איקס גדול מאפס קעורה כלפי מעלה רק כאשר x > 0 · קעורה כלפי מטה לכל ערך של איקס קעורה כלפי מטה לכל ערך של x
- תשובה: קעורה כלפי מטה לכל ערך של איקס
- פתרון: גוזרים: f′(x) = −6x + 6 , ולכן f″(x) = −6 , שלילית לכל ערך של x . לכן הפונקציה קעורה כלפי מטה לכל ערך של x .

### חישוב הנגזרת השנייה

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x³ + 5x² − 7x . מצאו את הנגזרת השנייה שלה.
- תשובה: −18x + 10
- פתרון: גוזרים: f′(x) = −9x² + 10x − 7 , ולכן f″(x) = −18x + 10 .

### נקודות פיתול

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 12x² − 5x . באיזה ערך של x יש לה נקודת פיתול?
- תשובה: 4
- פתרון: גוזרים: f′(x) = 3x² − 24x − 5 ו־ f″(x) = 6x − 24 . הנגזרת השנייה f″ מתאפסת כאשר x = 4 : לפני כן היא שלילית, ואחרי כן חיובית. לכן יש נקודת פיתול כאשר x = 4 .

### סוג נקודת הקיצון לפי הנגזרת השנייה

- דוגמה: לפונקציה f מתקיים f′(−4) = 0 ו־ f″(−4) = 6 . איזו נקודה יש לפונקציה כאשר x = −4 ?
- אפשרויות: נקודת מקסימום · אי אפשר לדעת · נקודת מינימום
- תשובה: נקודת מינימום
- פתרון: הנגזרת מתאפסת, והנגזרת השנייה חיובית, ולכן זו נקודת מינימום.

### הפונקציה, הנגזרת והנגזרת השנייה בגרפים

- דוגמה: בציור הראשון הגרף של הפונקציה y = f(x) , פולינום ממעלה שלישית. איזה מהגרפים שאחריו הוא הגרף של הנגזרת השנייה f″ ? (הגרף של הפונקציה, פולינום ממעלה שלישית) גרף א: (גרף א, ישר עולה) גרף ב: (גרף ב, ישר יורד) גרף ג: (גרף ג, פרבולה פתוחה כלפי מעלה)
- אפשרויות: גרף א · גרף ב · גרף ג
- תשובה: גרף א
- פתרון: הגרף קעור כלפי מטה ואחר כך כלפי מעלה, ונקודת הפיתול כאשר x = 1 . לכן f″ היא ישר עולה שחותך את הציר האופקי כאשר x = 1 : זה גרף א. הפרבולה היא הגרף של f′ .

### מהירות ותאוצה

- דוגמה: גוף נע על קו ישר, והמיקום שלו ביחס לנקודת המוצא אחרי t שניות הוא s(t) = −2t³ + 5t² − 7t + 4 מטרים. מהי המהירות שלו כאשר t = 5 ?
- תשובה: −107
- פתרון: המהירות: v(t) = −6t² + 10t − 7 . מציבים t = 5 : −6 · 5² + 10 · 5 − 7 = −107 .

### קצב השינוי של קצב בבעיות

- דוגמה: הגרף של אורך היום לפי התאריך עולה מהיום הקצר בשנה אל היום הארוך בה, ואחר כך יורד שוב. היכן בגרף אורך היום גדל הכי מהר?
- אפשרויות: בנקודת המקסימום של הגרף · בנקודת המינימום של הגרף · בנקודת פיתול של הגרף
- תשובה: בנקודת פיתול של הגרף
- פתרון: בנקודות הקיצון של הגרף, אורך היום כמעט לא משתנה: הנגזרת שווה שם ל־0. בדרך מהמינימום אל המקסימום השינוי הכי מהיר בנקודה שבה הגרף משנה את כיוון הקעירות: בנקודת פיתול.

## עוד לא באתר

- סרטוט סקיצה (לא ניתן לבדיקה אוטומטית)
- נקודות פיתול שבהן הנגזרת אינה מוגדרת
- רציפות וגזירות מתוך גרף
- הנגזרת השנייה של פונקציה רציונלית או פונקציית שורש (נדחה ביישום: הפולינומים בלבד בגל הזה)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-5u/)