פונקציות עם שורשים ריבועיים: אסימפטוטות ומשוואות לכיתה י״א · 5 יח״ל

בנושא פונקציות עם שורשים ריבועיים: אסימפטוטות ומשוואות בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים סימן וזוגיות של פונקציה עם שורש, אסימפטוטה אופקית אחרת בכל צד, נקודות קיצון בקצה התחום, משוואות עם שורש, משיק אנכי והדרך הקצרה ביותר. בפונקציה עם שורש מתחילים תמיד בתחום ההגדרה. בפונקציה רציונלית מוציאים מהתחום נקודות בודדות, אבל מתחת לשורש הביטוי צריך להיות לא שלילי, ולכן התחום הוא לרוב קטע או קרן, ולפעמים שתי קרניים או יותר. נקודת קיצון יכולה להיות גם בקצה התחום, ולכן משווים את ערכי הפונקציה בקצוות לערכיה בנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת.

השורש של ריבוע הוא הערך המוחלט: השורש של איקס בריבוע שווה לאיקס רק כשאיקס אינו שלילי. מכאן שלפונקציה עם שורש יכולה להיות אסימפטוטה אופקית אחרת בכל צד: כשאיקס גדול מאוד השורש של איקס בריבוע ועוד מספר קרוב לאיקס, וכשאיקס שלילי וגדול בערכו המוחלט הוא קרוב למינוס איקס. הנגזרת של השורש של איקס היא אחת חלקי פעמיים השורש של איקס. בשורש של ביטוי כופלים גם בנגזרת של הביטוי שמתחת לשורש. היכן שהביטוי שמתחת לשורש שווה לאפס, הנוסחה מחלקת באפס, ולכן בודקים את הנקודה הזאת בנפרד: לרוב הנגזרת אינה מוגדרת שם ולגרף יש משיק אנכי, אבל לא תמיד. כדי לפתור משוואה עם שורש מעלים את שני האגפים בריבוע. כל פתרון של המשוואה המקורית פותר גם את המשוואה החדשה, אבל לא להפך, ולכן מציבים כל פתרון במשוואה המקורית ובודקים, או מראים ששני האגפים באותו סימן.

טיפ: לפני שמעלים בריבוע, רושמים מתי האגף שבלי השורש אינו שלילי: פתרון שבו הוא שלילי נפסל.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

סימן וזוגיות של פונקציה עם שורש

לדוגמה: האם הפונקציה f(x) = x√(25 − x²) זוגית, אי זוגית, או לא זה ולא זה?

תשובה ופתרון

התשובה: אי זוגית

התחום הוא −5 ≤ x ≤ 5 , סימטרי סביב אפס. מציבים מינוס איקס: השורש לא משתנה והגורם איקס מחליף סימן, ולכן f(−x) = −f(x) והפונקציה אי זוגית.

אסימפטוטה אופקית אחרת בכל צד

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −3x : √(x² + 9) . מהי האסימפטוטה האופקית שלה כאשר x → ∞ ?

תשובה ופתרון

התשובה: −3

הפונקציה מוגדרת לכל איקס, כי x² + 9 תמיד חיובי. כאשר איקס גדול מאוד, השורש קרוב לאיקס, ולכן המנה קרובה ל־ −3 . האסימפטוטה היא y = −3 .

נקודות קיצון בקצה התחום

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x√(3 − x) בתחום 0 ≤ x ≤ 3 . באיזה ערך של x מקבלת הפונקציה את הערך הגדול ביותר שלה?

תשובה ופתרון

התשובה: 2

התחום הוא 0 ≤ x ≤ 3 . לפי כלל המכפלה הנגזרת היא (6 − 3x) : (2√(3 − x)) , והיא מתאפסת כאשר x = 2 . שם f(2) = 2 · 1 = 2 , ובשני הקצוות f(0) = f(3) = 0 . לכן הערך הגדול ביותר מתקבל כאשר x = 2 .

משוואות עם שורש

לדוגמה: פתרו את המשוואה √(x − 7) = 6 .

תשובה ופתרון

התשובה: 43

התחום הוא x ≥ 7 . מעלים בריבוע: x − 7 = 36 , ולכן x = 43 . בדיקה: √36 = 6 , נכון.

משיק אנכי

לדוגמה: לגרף של f(x) = √(x + 4) יש משיק אנכי בנקודה אחת. באיזה ערך של x ?

תשובה ופתרון

התשובה: −4

התחום הוא x ≥ −4 . הנגזרת היא f′(x) = 1 : (2√(x + 4)) . היא אינה מוגדרת כאשר x = −4 , וגדלה בלי גבול כשמתקרבים לשם. לכן בנקודה שבה x = −4 , שבה הגרף מתחיל, המשיק אנכי.

הדרך הקצרה ביותר

לדוגמה: שני מחנות, א ו־ב, נמצאים מאותו צד של כביש ישר: א במרחק 3 ק״מ מהכביש, ו־ב במרחק 1 ק״מ ממנו. הנקודות על הכביש הקרובות ביותר אליהם רחוקות זו מזו 2 ק״מ. הולכים בקו ישר מ־א אל נקודה על הכביש, במרחק x ק״מ מהנקודה על הכביש הקרובה ביותר ל־א, ומשם בקו ישר אל ב. אב איזה ביטוי הוא האורך של הדרך, בק״מ?

תשובה ופתרון

התשובה: שורש פותחים סוגריים תשע ועוד איקס בריבוע סוגרים סוגריים ועוד שורש פותחים סוגריים אחת ועוד פותחים סוגריים שתיים פחות איקס סוגרים סוגריים בריבוע סוגרים סוגריים

הקטע הראשון הוא היתר של משולש שניצביו 3 ו־ x , ואורכו √(9 + x²) . הקטע השני הוא היתר של משולש שניצביו 1 ו־ 2 − x . לכן האורך הוא √(9 + x²) + √(1 + (2 − x)²) .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: סרטוט סקיצה (לא ניתן לבדיקה אוטומטית) · פעילות חקר ביישומון · מיכל ושיעור השינוי של העומק (דוגמה 31 בתוכנית, נדחה ביישום: קצב שינוי של פונקציה מורכבת בזמן).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←