# אינדוקציה מתמטית לכיתה י״א · 5 יח״ל

> אינדוקציה מתמטית לכיתה י״א · 5 יח״ל: בסיס האינדוקציה, הנחת האינדוקציה והטענה, צעד האינדוקציה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא אינדוקציה מתמטית בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים בסיס האינדוקציה, הנחת האינדוקציה והטענה, צעד האינדוקציה, טיעונים שאינם הוכחה, סדרות בכלל נסיגה ואינדוקציה בציור.

אינדוקציה מתמטית היא שיטת הוכחה שלישית, אחרי ההוכחה הישירה וההוכחה בדרך השלילה. היא מתאימה לטענה על כל המספרים הטבעיים, ומוכיחים בה שני דברים: שהטענה נכונה עבור המספר אחת, זה בסיס האינדוקציה, ושאם היא נכונה עבור מספר טבעי מסוים, היא נכונה גם עבור המספר שאחריו, זה צעד האינדוקציה. משני אלה נובע שהטענה נכונה לכל מספר טבעי, כמו בשורה של אבני דומינו: הראשונה נופלת, וכל אבן מפילה את הבאה.

סדרה היא פונקציה שמוגדרת על המספרים הטבעיים, ולכן את האיבר שבמקום מסוים אפשר לכתוב גם כערך של פונקציה במקום הזה. סדרה נתונה לפי המקום או בכלל נסיגה, ובאינדוקציה מוכיחים ששתי הדרכים נותנות אותה סדרה.

בצעד מוכיחים משפט מהצורה ״אם כך, אז כך״: מניחים שהטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים, ומראים שהיא נכונה גם עבור המספר הבא. כדי להוכיח משפט כזה לא צריך לדעת אם ההנחה נכונה: ההנחה היא כלי עבודה, ולא טענה שכבר הוכחה. את הטענה לכל מספר טבעי לא מניחים: היא המסקנה.

הוכחה לדוגמה: סכום הריבועים של המספרים מאחת עד אן שווה לאן כפול אן ועוד אחת כפול שתיים אן ועוד אחת, חלקי שש. בסיס האינדוקציה: עבור אחת, אגף שמאל הוא אחת, ואגף ימין הוא אחת כפול שתיים כפול שלוש חלקי שש, כלומר גם אחת. צעד האינדוקציה: מניחים שהטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים קיי, ומוסיפים לשני האגפים את קיי ועוד אחת בריבוע. באגף ימין מוציאים את קיי ועוד אחת כגורם משותף, ונשאר שתיים קיי בריבוע ועוד שבע קיי ועוד שש, חלקי שש. זה קיי ועוד שתיים כפול שתיים קיי ועוד שלוש, חלקי שש, וזו בדיוק הטענה עבור קיי ועוד אחת. ולכן הטענה נכונה לכל מספר טבעי אן.

הוכחה לדוגמה: סדרה אחת נתונה לפי המקום, והאיבר שלה במקום אן הוא אן בריבוע ועוד שתיים אן. סדרה שנייה נתונה בכלל נסיגה: האיבר הראשון שלה הוא שלוש, וכל איבר הוא האיבר שלפניו ועוד פעמיים המקום הקודם ועוד שלוש. הטענה היא שאלה אותה סדרה. בסיס האינדוקציה: במקום הראשון, בסדרה הראשונה אחת ועוד שתיים, כלומר שלוש, ובשנייה שלוש. צעד האינדוקציה: מניחים שבמקום מסוים קיי האיבר של הסדרה השנייה הוא קיי בריבוע ועוד שתיים קיי. לפי כלל הנסיגה, האיבר הבא שלה הוא קיי בריבוע ועוד ארבע קיי ועוד שלוש, וזה קיי ועוד אחת בריבוע ועוד פעמיים קיי ועוד אחת: האיבר של הסדרה הראשונה במקום קיי ועוד אחת. ולכן הטענה נכונה לכל מקום אן, ושתי הסדרות שוות.

הוכחה לדוגמה: בסדרה האיבר הראשון הוא שש, וכל איבר הוא האיבר שלפניו ועוד שתיים אן בשלישית ועוד שלוש אן בריבוע ועוד אן, כאשר אן הוא המקום הקודם. הטענה היא שכל איברי הסדרה מתחלקים בשש. בסיס האינדוקציה: האיבר הראשון הוא שש, והוא מתחלק בשש. צעד האינדוקציה: מניחים שהאיבר במקום מסוים קיי מתחלק בשש. ההפרש בינו לבין האיבר הבא הוא שתיים קיי בשלישית ועוד שלוש קיי בריבוע ועוד קיי, וזה קיי כפול קיי ועוד אחת כפול שתיים קיי ועוד אחת: לפי ההוכחה הראשונה, שש פעמים סכום הריבועים מאחת עד קיי. לכן גם ההפרש מתחלק בשש, וסכום של שני מספרים שמתחלקים בשש מתחלק בשש. ולכן הטענה נכונה לכל איברי הסדרה.

הוכחה לדוגמה: אן ישרים במישור, אין שניים מקבילים ואין שלושה שעוברים באותה נקודה. הטענה היא שהם מחלקים את המישור לאחת ועוד אן כפול אן ועוד אחת חלקי שתיים חלקים. בסיס האינדוקציה: ישר אחד מחלק את המישור לשני חלקים, ואחת ועוד אחת כפול שתיים חלקי שתיים הוא שתיים. צעד האינדוקציה: מניחים שקיי ישרים כאלה מחלקים את המישור לאחת ועוד קיי כפול קיי ועוד אחת חלקי שתיים חלקים. ישר נוסף חותך כל אחד מהם בנקודה אחרת, ולכן עובר דרך קיי ועוד אחת חלקים ומחלק כל אחד מהם לשניים. כך נוספים קיי ועוד אחת חלקים, ומתקבל אחת ועוד קיי ועוד אחת כפול קיי ועוד שתיים חלקי שתיים: הטענה עבור קיי ועוד אחת. ולכן הטענה נכונה לכל מספר טבעי של ישרים.

באינדוקציה אפשר להוכיח גם את כלל הגזירה של חזקה: הנגזרת של איקס בחזקת אן היא אן כפול איקס בחזקת אן פחות אחת. עבור אחת, הנגזרת של איקס היא אחת. בצעד כותבים את איקס בחזקת קיי ועוד אחת כמכפלה של איקס בחזקת קיי באיקס, וגוזרים לפי כלל המכפלה: קיי כפול איקס בחזקת קיי פחות אחת, כפול איקס, ועוד איקס בחזקת קיי. זה קיי ועוד אחת כפול איקס בחזקת קיי.

את הטענה שאן בשלישית פחות אן מתחלק בשש אפשר להוכיח בשתי דרכים. באינדוקציה: עבור אחת מקבלים אפס, ובצעד ההפרש בין שני מקרים סמוכים הוא שלוש כפול קיי כפול קיי ועוד אחת. מכפלה של שני מספרים סמוכים היא זוגית, ולכן ההפרש מתחלק בשש. בלי אינדוקציה: אן בשלישית פחות אן הוא מכפלה של שלושה מספרים סמוכים, אן פחות אחת, אן ואן ועוד אחת, ובין שלושה מספרים סמוכים יש תמיד מספר זוגי ומספר שמתחלק בשלוש.

טיעון שגוי: הטענה היא שסכום המספרים מאחת עד אן שווה לאן בריבוע ועוד אן ועוד אחת, חלקי שתיים. צעד האינדוקציה נכון: כשמוסיפים לשני האגפים את קיי ועוד אחת, מקבלים את הטענה עבור קיי ועוד אחת. אבל עבור אחת אגף שמאל הוא אחת ואגף ימין שלוש חצאים. בלי בסיס הצעד אינו מוכיח דבר, והטענה אינה נכונה לאף אן.

טיעון שגוי: בסדרה אחת האיבר הראשון הוא שתיים, וכל איבר הוא פעמיים האיבר שלפניו. בסדרה שנייה האיבר הראשון הוא שתיים, וכל איבר הוא האיבר שלפניו ועוד פעמיים המקום הקודם. בשתיהן שלושת האיברים הראשונים הם שתיים, ארבע ושמונה, ולכן הסיקו שהסדרות שוות. אבל האיבר הרביעי בראשונה הוא שש עשרה, ובשנייה ארבע עשרה. כמה מקרים שמתאימים אינם הוכחה: חסר צעד האינדוקציה.

טיעון שגוי: הטענה היא שבכל קבוצה של סוסים כל הסוסים באותו צבע. בבסיס, סוס אחד הוא בצבע אחד. בצעד, מקבוצה של קיי ועוד אחת סוסים מוציאים סוס אחד, והנשארים באותו צבע. מחזירים אותו ומוציאים סוס אחר, ושוב הנשארים באותו צבע, ולשתי הקבוצות יש סוסים משותפים. הצעד נשבר במעבר מסוס אחד לשני סוסים: אז בכל קבוצה נשאר סוס אחד, ואין להן סוס משותף. צעד צריך להתקיים לכל קיי, גם לראשון.

**טיפ:** בכל הוכחה באינדוקציה כותבים שלושה חלקים בשמם: הבסיס, הצעד והמסקנה. בצעד כותבים בבירור מה מניחים ומה מראים.

## מה לומדים בנושא

### בסיס האינדוקציה

- דוגמה: מוכיחים באינדוקציה שלכל מספר טבעי n , 1 + 2 + … + n שווה לביטוי n(n + 1) : 2 . מהו ערך אגף ימין כאשר n = 1 ?
- תשובה: 1
- פתרון: אגף שמאל: 1 = 1 . אגף ימין: 1 · 2 : 2 = 1 . שני האגפים שווים. בדיקת הבסיס היא חלק מההוכחה, ולא רק דוגמה.

### הנחת האינדוקציה והטענה

- דוגמה: מוכיחים באינדוקציה כי 1 + 2 + … + n = n(n + 1) : 2 לכל מספר טבעי n . מהי הנחת האינדוקציה בצעד?
- אפשרויות: הטענה נכונה לכל מספר טבעי אֶן הטענה נכונה לכל מספר טבעי n · הטענה נכונה עבור קיי ועוד אחת הטענה נכונה עבור k + 1 · הטענה נכונה עבור אֶן שווה אחת הטענה נכונה עבור n = 1 · הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים קיי הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים k
- תשובה: הטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים קיי
- פתרון: הנחת האינדוקציה היא שהטענה נכונה עבור מספר טבעי מסוים k . מניחים זאת, ומראים שהיא נכונה גם עבור k + 1 . את הטענה לכל n לא מניחים: אותה מוכיחים, והיא המסקנה. ההנחה היא רק חלק מהצעד.

### צעד האינדוקציה

- דוגמה: בסדרה b₁ = 2 ו־ bₖ₊₁ = bₖ + 2k + 2 . מוכיחים באינדוקציה כי bₙ = n² + n , ובצעד מניחים כי bₖ = k² + k . למה שווה bₖ₊₁ ?
- אפשרויות: קיי בריבוע ועוד קיי ועוד שתיים k² + k + 2 · קיי בריבוע ועוד שלוש קיי k² + 3k · קיי בריבוע ועוד קיי k² + k · קיי בריבוע ועוד שלוש קיי ועוד שתיים k² + 3k + 2
- תשובה: קיי בריבוע ועוד שלוש קיי ועוד שתיים
- פתרון: מציבים: bₖ₊₁ = k² + k + 2k + 2 = k² + 3k + 2 . וזה בדיוק (k + 1)² + (k + 1) : הטענה עבור k + 1 .

### טיעונים שאינם הוכחה

- דוגמה: בהוכחה באינדוקציה כי 1 + 2 + … + n שווה לביטוי (n² + n + 1) : 2 לכל מספר טבעי n הניחו שהטענה נכונה עבור k , הראו בחישוב נכון שהיא נכונה גם עבור k + 1 , והסיקו שהיא נכונה לכל n . מה חסר בהוכחה?
- אפשרויות: צעד האינדוקציה · המסקנה · שום דבר: ההוכחה שלמה · בסיס האינדוקציה
- תשובה: בסיס האינדוקציה
- פתרון: חסר בסיס האינדוקציה, ובלעדיו הצעד אינו מוכיח דבר. ואכן, עבור n = 1 : אגף שמאל הוא 1 ואגף ימין 3/2 , כך שהטענה אינה נכונה כבר במקרה הראשון.

### סדרות בכלל נסיגה

- דוגמה: בסדרה a₁ = 2 ו־ aₙ₊₁ = aₙ + 2n³ + 2n . מהו a₄ ?
- תשובה: 86
- פתרון: איבר אחר איבר: a₂ = 2 + 4 = 6 , a₃ = 6 + 20 = 26 , a₄ = 26 + 60 = 86 .

### אינדוקציה בציור

- דוגמה: בציור ישר אחד. לכמה חלקים הוא מחלק את המישור? (ישר אחד במערכת צירים)
- תשובה: 2
- פתרון: הישר ה־ k חותך את k − 1 הישרים שלפניו, ולכן עובר ב־ k חלקים ומוסיף k חלקים: Lₖ = Lₖ₋₁ + k . לכן L₁ = 1 + 1 = 2 .

## עוד לא באתר

- כתיבת הוכחה באינדוקציה בעצמכם (קריאה מודרכת: ארבע הוכחות לדוגמה בהסבר)
- הוכחת כלל הגזירה של חזקה באינדוקציה (קריאה)
- משפט דה מואבר

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-5u/)