הסתברות: נוסחת בייס, ספירה ונוסחת ברנולי לכיתה י״א · 5 יח״ל
בנושא הסתברות: נוסחת בייס, ספירה ונוסחת ברנולי בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים הסתברות גאומטרית, נוסחת בייס, עקרון הכפל, סידורים ותפקידים, בחירה בלי סדר, נוסחת ברנולי ולפחות ולכל היותר: המאורע המשלים. בפרק הזה ההסתברות נבנית מספירה. כשכל התוצאות סבירות באותה מידה, ההסתברות היא מספר התוצאות המתאימות חלקי מספר כל התוצאות. כדי לספור משתמשים בעקרון הכפל: בוחרים בשלבים, וכופלים את מספר האפשרויות בכל שלב. כשהסדר חשוב, סופרים סידורים, וכשהוא לא חשוב, מחלקים במספר הסדרים של כל קבוצה.
כשחוזרים על אותו ניסוי כמה פעמים, והניסויים בלתי תלויים, ההסתברות של רצף תוצאות היא מכפלת ההסתברויות. ההסתברות להצלחה בדיוק במספר מסוים של ניסויים היא מספר הרצפים המתאימים כפול ההסתברות של רצף אחד: זו נוסחת ברנולי. בשאלות של לפחות פעם אחת, נוח יותר לחשב את המאורע המשלים. נוסחת בייס הופכת את כיוון השאלה. כשבדיקה רפואית יוצאת חיובית, שואלים מה ההסתברות שהאדם באמת חולה. דרך פשוטה היא לחשוב על קבוצה של מאה אלף אנשים, לספור כמה בכל קבוצה בטבלה, ולחלק את מספר החולים עם תוצאה חיובית במספר כל התוצאות החיוביות. כשהמחלה נדירה, התשובה קטנה מהצפוי.
טיפ: לפני שסופרים, שואלים אם הסדר חשוב. אם כן, סופרים סידורים; אם לא, מחלקים במספר הסדרים.
מה לומדים בנושא
הסתברות גאומטרית
לדוגמה: זורקים חץ באקראי אל לוח בצורת ריבוע שאורך הצלע שלו 2. על הלוח מצויר עיגול ברדיוס 1, שנוגע בכל הצלעות. החץ פוגע בלוח. מה ההסתברות שהוא פוגע בעיגול?
תשובה ופתרון
התשובה: π/4
שטח העיגול הוא π , ושטח הריבוע הוא 4 . ההסתברות היא π : 4 , כלומר π/4 .
נוסחת בייס
לדוגמה: במחלה מסוימת חולים 0.1 אחוז מהאוכלוסייה. בדיקה מזהה 90 אחוזים מהחולים: אצלם התוצאה חיובית. אצל 96 אחוזים מהבריאים התוצאה שלילית. בוחרים אדם באקראי ובודקים אותו. מה ההסתברות שהתוצאה חיובית? כתבו את התשובה באחוזים, עד ספרה אחת אחרי הנקודה.
תשובה ופתרון
התשובה: 4.1%
מתוך 100,000 אנשים 100 חולים, ו־90 מהם מקבלים תוצאה חיובית. מתוך 99,900 הבריאים מקבלים תוצאה חיובית 3,996. בסך הכול 4,086 תוצאות חיוביות מתוך 100,000, כלומר בערך 4.1 אחוזים.
עקרון הכפל
לדוגמה: במסעדה יש 2 מנות ראשונות, 5 מנות עיקריות ו־2 קינוחים. ארוחה היא מנה ראשונה, מנה עיקרית וקינוח. כמה ארוחות אפשר להרכיב?
תשובה ופתרון
התשובה: 20
לפי עקרון הכפל: 2 · 5 · 2 = 20 .
סידורים ותפקידים
לדוגמה: בכיתה 5 תלמידים. בוחרים 4 תלמידים ל־4 תפקידים שונים, תלמיד אחד לכל תפקיד. בכמה דרכים אפשר לעשות זאת?
תשובה ופתרון
התשובה: 120
לתפקיד הראשון 5 אפשרויות, לשני 4, וכן הלאה: 5 · 4 · 3 · 2 = 120 .
בחירה בלי סדר
לדוגמה: בקבוצה 4 חברים, וכל שניים מהם לוחצים ידיים פעם אחת. כמה לחיצות ידיים יש?
תשובה ופתרון
התשובה: 6
כל לחיצה היא בחירה של שניים מתוך 4, בלי סדר: 4 · 3 : 2 = 6 .
נוסחת ברנולי
לדוגמה: גלגל מזל מחולק ל־4 חלקים שווים, ואחד מהם אדום. מסובבים אותו פעמיים. מה ההסתברות שהוא לא עוצר על האדום אף פעם?
תשובה ופתרון
התשובה: 9/16
בכל סיבוב ההסתברות שלא לעצור על האדום היא 3/4 . לכן ההסתברות היא (3/4)² , כלומר 9/16 .
לפחות ולכל היותר: המאורע המשלים
לדוגמה: גלגל מזל מחולק ל־6 חלקים שווים, ואחד מהם אדום. מסובבים אותו פעמיים. מה ההסתברות שהוא עוצר על האדום לפחות פעם אחת?
תשובה ופתרון
התשובה: 11/36
המאורע המשלים הוא שהגלגל לא עוצר על האדום אף פעם: (5/6)² = 25/36 . לכן ההסתברות היא 1 − 25/36 , כלומר 11/36 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: משולש פסקל והקשר שלו למקדמי הבינום (קריאה) · סימולציות וניסויים אמפיריים · תוחלת של התפלגות בינומית (לא בתוכנית).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).