# הסתברות: נוסחת בייס, ספירה ונוסחת ברנולי לכיתה י״א · 5 יח״ל

> הסתברות: נוסחת בייס, ספירה ונוסחת ברנולי לכיתה י״א · 5 יח״ל: הסתברות גאומטרית, נוסחת בייס, עקרון הכפל ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא הסתברות: נוסחת בייס, ספירה ונוסחת ברנולי בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים הסתברות גאומטרית, נוסחת בייס, עקרון הכפל, סידורים ותפקידים, בחירה בלי סדר, נוסחת ברנולי ולפחות ולכל היותר: המאורע המשלים.

בפרק הזה ההסתברות נבנית מספירה. כשכל התוצאות סבירות באותה מידה, ההסתברות היא מספר התוצאות המתאימות חלקי מספר כל התוצאות. כדי לספור משתמשים בעקרון הכפל: בוחרים בשלבים, וכופלים את מספר האפשרויות בכל שלב. כשהסדר חשוב, סופרים סידורים, וכשהוא לא חשוב, מחלקים במספר הסדרים של כל קבוצה.

כשחוזרים על אותו ניסוי כמה פעמים, והניסויים בלתי תלויים, ההסתברות של רצף תוצאות היא מכפלת ההסתברויות. ההסתברות להצלחה בדיוק במספר מסוים של ניסויים היא מספר הרצפים המתאימים כפול ההסתברות של רצף אחד: זו נוסחת ברנולי. בשאלות של לפחות פעם אחת, נוח יותר לחשב את המאורע המשלים.

נוסחת בייס הופכת את כיוון השאלה. כשבדיקה רפואית יוצאת חיובית, שואלים מה ההסתברות שהאדם באמת חולה. דרך פשוטה היא לחשוב על קבוצה של מאה אלף אנשים, לספור כמה בכל קבוצה בטבלה, ולחלק את מספר החולים עם תוצאה חיובית במספר כל התוצאות החיוביות. כשהמחלה נדירה, התשובה קטנה מהצפוי.

**טיפ:** לפני שסופרים, שואלים אם הסדר חשוב. אם כן, סופרים סידורים; אם לא, מחלקים במספר הסדרים.

## מה לומדים בנושא

### הסתברות גאומטרית

- דוגמה: זורקים חץ באקראי אל לוח בצורת ריבוע שאורך הצלע שלו 2. על הלוח מצויר עיגול ברדיוס 1, שנוגע בכל הצלעות. החץ פוגע בלוח. מה ההסתברות שהוא פוגע בעיגול? (ריבוע ובתוכו עיגול שנוגע בכל ארבע הצלעות, ורדיוס של העיגול.)
- תשובה: π/4
- פתרון: שטח העיגול הוא π , ושטח הריבוע הוא 4 . ההסתברות היא π : 4 , כלומר π/4 .

### נוסחת בייס

- דוגמה: במחלה מסוימת חולים 0.1 אחוז מהאוכלוסייה. בדיקה מזהה 90 אחוזים מהחולים: אצלם התוצאה חיובית. אצל 96 אחוזים מהבריאים התוצאה שלילית. בוחרים אדם באקראי ובודקים אותו. מה ההסתברות שהתוצאה חיובית? כתבו את התשובה באחוזים, עד ספרה אחת אחרי הנקודה.
- תשובה: 4.1%
- פתרון: מתוך 100,000 אנשים 100 חולים, ו־90 מהם מקבלים תוצאה חיובית. מתוך 99,900 הבריאים מקבלים תוצאה חיובית 3,996. בסך הכול 4,086 תוצאות חיוביות מתוך 100,000, כלומר בערך 4.1 אחוזים.

### עקרון הכפל

- דוגמה: במסעדה יש 2 מנות ראשונות, 5 מנות עיקריות ו־2 קינוחים. ארוחה היא מנה ראשונה, מנה עיקרית וקינוח. כמה ארוחות אפשר להרכיב?
- תשובה: 20
- פתרון: לפי עקרון הכפל: 2 · 5 · 2 = 20 .

### סידורים ותפקידים

- דוגמה: בכיתה 5 תלמידים. בוחרים 4 תלמידים ל־4 תפקידים שונים, תלמיד אחד לכל תפקיד. בכמה דרכים אפשר לעשות זאת?
- תשובה: 120
- פתרון: לתפקיד הראשון 5 אפשרויות, לשני 4, וכן הלאה: 5 · 4 · 3 · 2 = 120 .

### בחירה בלי סדר

- דוגמה: בקבוצה 4 חברים, וכל שניים מהם לוחצים ידיים פעם אחת. כמה לחיצות ידיים יש?
- תשובה: 6
- פתרון: כל לחיצה היא בחירה של שניים מתוך 4, בלי סדר: 4 · 3 : 2 = 6 .

### נוסחת ברנולי

- דוגמה: גלגל מזל מחולק ל־4 חלקים שווים, ואחד מהם אדום. מסובבים אותו פעמיים. מה ההסתברות שהוא לא עוצר על האדום אף פעם?
- תשובה: 9/16
- פתרון: בכל סיבוב ההסתברות שלא לעצור על האדום היא 3/4 . לכן ההסתברות היא (3/4)² , כלומר 9/16 .

### לפחות ולכל היותר: המאורע המשלים

- דוגמה: גלגל מזל מחולק ל־6 חלקים שווים, ואחד מהם אדום. מסובבים אותו פעמיים. מה ההסתברות שהוא עוצר על האדום לפחות פעם אחת?
- תשובה: 11/36
- פתרון: המאורע המשלים הוא שהגלגל לא עוצר על האדום אף פעם: (5/6)² = 25/36 . לכן ההסתברות היא 1 − 25/36 , כלומר 11/36 .

## עוד לא באתר

- משולש פסקל והקשר שלו למקדמי הבינום (קריאה)
- סימולציות וניסויים אמפיריים
- תוחלת של התפלגות בינומית (לא בתוכנית)

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-5u/)