פונקציית ההצטברות ושימושיה לכיתה י״א · 5 יח״ל

בנושא פונקציית ההצטברות ושימושיה בכיתה י״א · 5 יח״ל לומדים פונקציה קדומה של שורש ושל פונקציה מורכבת, פונקציית ההצטברות מתוך גרף, התכונות של פונקציית ההצטברות, הערך הממוצע של פונקציה, העתק ודרך מתוך המהירות, נפח של גוף סיבוב, אינטגרל של פונקציה שהוזזה או נמתחה וכמות מתוך הקצב שלה. פונקציית ההצטברות סוכמת שטח: הערך שלה בנקודה הוא האינטגרל של הפונקציה מנקודת התחלה קבועה עד הנקודה הזאת. שטח מעל הציר האופקי מוסיף לה, ושטח מתחת לציר מחסיר ממנה. הנגזרת שלה היא הפונקציה עצמה, ולכן היא עולה היכן שהפונקציה חיובית, ויש לה נקודת קיצון היכן שהפונקציה מחליפה סימן.

האינטגרל של קצב הוא הכמות שמצטברת. האינטגרל של המהירות הוא ההעתק, והאינטגרל של גודל המהירות הוא הדרך שעוברים. הערך הממוצע של פונקציה בקטע הוא האינטגרל שלה מחולק באורך הקטע. כשמסובבים תחום סביב הציר האופקי, הנפח של גוף הסיבוב הוא פאי כפול האינטגרל של הריבוע של הפונקציה. הוכחה לדוגמה: נפח החרוט. מסובבים סביב הציר האופקי את הישר שעובר בראשית הצירים, מאיקס שווה לאפס עד איקס שווה לגובה, כך שבקצה הקטע ערך הישר שווה לרדיוס. נוצר חרוט, והשיפוע של הישר הוא הרדיוס חלקי הגובה. הריבוע של הישר הוא ריבוע השיפוע כפול איקס בריבוע, והאינטגרל של איקס בריבוע מאפס עד הגובה הוא הגובה בשלישית חלקי שלוש. לכן הנפח הוא פאי כפול ריבוע הרדיוס חלקי ריבוע הגובה, כפול הגובה בשלישית חלקי שלוש, כלומר פאי כפול ריבוע הרדיוס כפול הגובה, חלקי שלוש. הוכחה לדוגמה: נפח הכדור. מסובבים סביב הציר האופקי את חצי המעגל שהמרכז שלו בראשית הצירים, מקצה אחד של הקוטר עד הקצה השני. נוצר כדור, והריבוע של חצי המעגל הוא ריבוע הרדיוס פחות איקס בריבוע. האינטגרל שלו ממינוס הרדיוס עד הרדיוס הוא פעמיים הרדיוס בשלישית, פחות שתי שלישיות של הרדיוס בשלישית, כלומר ארבע שלישיות של הרדיוס בשלישית. לכן הנפח הוא ארבע שלישיות כפול פאי כפול הרדיוס בשלישית.

טיפ: כדי לחשב דרך, מוצאים קודם היכן המהירות מחליפה סימן, ומפצלים את האינטגרל שם.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

פונקציה קדומה של שורש ושל פונקציה מורכבת

לדוגמה: איזו מהפונקציות היא פונקציה קדומה של f(x) = √x ?

תשובה ופתרון

התשובה: שתיים איקס שורש איקס חלקי שלוש

כותבים את 2x√x : 3 בצורה (2 : 3)x^(3/2) . הנגזרת שלה היא (2 : 3) · (3 : 2)x^(1/2) , כלומר √x .

פונקציית ההצטברות מתוך גרף

לדוגמה: בציור הגרף של הפונקציה y = f(x) כאשר 0 ≤ x ≤ 10 . השטחים של התחומים שבין הגרף לציר האופקי, משמאל לימין: 11, 8.5, 4 ו־6.5.

הפונקציה h(x) היא האינטגרל של f(t) מ־ t = 0 עד t = x . מהו הערך h(4) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 11

עד x = 4 הגרף מעל הציר, ולכן הערך הוא השטח: 11.

התכונות של פונקציית ההצטברות

לדוגמה: הפונקציה F(x) היא האינטגרל של f(t) מ־ t = 1 עד t = x . מהו הערך F(1) ?

תשובה ופתרון

התשובה: אפס

הערך F(1) הוא האינטגרל מ־ t = 1 עד t = 1 : אין שם שטח, ולכן הוא שווה ל־0.

הערך הממוצע של פונקציה

לדוגמה: מהו הערך הממוצע של הפונקציה f(x) = 4x − 5 בקטע −3 ≤ x ≤ 0 ?

תשובה ופתרון

התשובה: −11

האינטגרל: ∫₋₃⁰ (4x − 5) dx = −33 . אורך הקטע הוא 3, ולכן הממוצע הוא −33 : 3 = −11 .

העתק ודרך מתוך המהירות

לדוגמה: גוף נע על קו ישר, והמהירות שלו אחרי t שניות היא v(t) = −2t + 10 מטרים בשנייה. מהו ההעתק של הגוף מ־ t = 0 עד t = 3 ?

תשובה ופתרון

התשובה: 21

ההעתק הוא האינטגרל של המהירות: ∫₀³ (−2t + 10) dt = 21 .

נפח של גוף סיבוב

לדוגמה: בציור התחום שבין הישר y = (1 : 6)x , הציר האופקי והישר x = 6 , יחד עם תמונת המראה שלו בציר האופקי.

מסובבים את התחום סביב הציר האופקי. מהו הנפח של גוף הסיבוב שנוצר? כתבו את התשובה ככפולה של π .

תשובה ופתרון

התשובה: 2π

נוצר חרוט. הריבוע: y² = (1 : 36)x² , ולכן הנפח הוא π ∫₀⁶ (1 : 36)x² dx , כלומר π · (1 : 36) · 6³ : 3 = 2π .

אינטגרל של פונקציה שהוזזה או נמתחה

לדוגמה: הפונקציה f חיובית בקטע 0 ≤ x ≤ 6 , והשטח שבין הגרף שלה לבין הציר האופקי בקטע הזה הוא 8. מהו השטח שבין הגרף של f(x) + 3 לבין הציר האופקי באותו קטע?

תשובה ופתרון

התשובה: 26

הגרף של f(x) + 3 הוא הגרף של f מוזז 3 למעלה, ולכן נוסף מלבן שהשטח שלו 3 · 6 = 18 . השטח: 8 + 18 = 26 .

כמות מתוך הקצב שלה

לדוגמה: מים זורמים לחבית. אחרי t דקות הם זורמים בקצב של 10 − 0.5t ליטר לדקה, עד שהזרימה נפסקת. כמה ליטר זורמים לחבית בדקה השנייה?

תשובה ופתרון

התשובה: 9.25

בדקה השנייה הזמן עובר מ־ t = 1 עד t = 2 : ∫₁² (10 − 0.5t) dt = 9.25 .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הגדרת האינטגרל כגבול של סכומי מלבנים (פעילות) · אורך עקום (העשרה) · הוכחת נוסחאות הנפח כשלעצמה אינה נבדקת: שתי ההוכחות לדוגמה בהסבר.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←