מתאם ורגרסיה לכיתה י״א · 4 יח״ל
בנושא מתאם ורגרסיה בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים דיאגרמת פיזור, נקודת הממוצעים וגרף הממוצעים, חישוב מקדם המתאם, השוואת מקדמי מתאם, תכונות מקדם המתאם, ישר הרגרסיה וניבוי בעזרת ישר הרגרסיה. דיאגרמת פיזור מציגה זוגות של ערכים כנקודות. כשהנקודות עולות משמאל לימין יש קשר חיובי, כשהן יורדות יש קשר שלילי, וכשאין להן כיוון אין קשר. ככל שהנקודות קרובות יותר לישר אחד, הקשר הלינארי חזק יותר, וכשכולן על ישר אחד הקשר מושלם.
מקדם המתאם הלינארי מודד את הקשר במספר אחד, תמיד בין מינוס אחת לאחת. הסימן שלו הוא כיוון הקשר, והגודל שלו הוא החוזק. הוא אינו משתנה כשמוסיפים קבוע לערכים או משנים את היחידות, והוא אותו מספר כשמחליפים בין שני המשתנים. כפל של אחד המשתנים במספר שלילי מחליף את הסימן שלו. כדי לחשב אותו מוצאים את הממוצעים ואת סטיות התקן, כופלים בכל זוג את ההפרשים מהממוצעים ומחברים. מקדם המתאם הוא הסכום הזה מחולק במספר הזוגות כפול שתי סטיות התקן. לציוני תקן הוא פשוט הממוצע של המכפלות. ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים, והשיפוע שלו הוא מקדם המתאם כפול סטיית התקן של הערכים האנכיים, מחולק בסטיית התקן של הערכים האופקיים. מציבים בו ערך ומקבלים ניבוי. הניבוי אינו מדויק, והוא סביר רק בתחום של הנתונים. קשר חזק אינו מוכיח שמשתנה אחד גורם לשני.
טיפ: ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים.
מה לומדים בנושא
דיאגרמת פיזור
לדוגמה: בדיאגרמת הפיזור מוצגים זוגות של ערכים.
איזה קשר יש בין שני המשתנים?- קשר שלילי
- אין קשר
- קשר חיובי
תשובה ופתרון
התשובה: קשר חיובי
ככל שערך אחד גדל, גם הערך השני נוטה לגדול: הנקודות עולות משמאל לימין. זה קשר חיובי.
נקודת הממוצעים וגרף הממוצעים
לדוגמה: בטבלה חמישה זוגות של ערכים.
| x | y |
|---|---|
| 2 | 17 |
| 7 | 18 |
| 8 | 21 |
| 12 | 25 |
| 16 | 9 |
תשובה ופתרון
התשובה: (9, 18)
סכום ערכי x הוא 45 , ולכן x̄ = 9 . סכום ערכי y הוא 90 , ולכן ȳ = 18 . נקודת הממוצעים היא (9, 18)
חישוב מקדם המתאם
לדוגמה: בטבלה ארבעה זוגות של ערכים.
| x | y |
|---|---|
| 2 | 18 |
| 7 | 11 |
| 12 | 11 |
| 7 | 20 |
תשובה ופתרון
התשובה: −35
הממוצעים הם x̄ = 7 ו־ ȳ = 15 . ההפרשים מהממוצע של x : −5, 0, 5, 0 . ההפרשים מהממוצע של y : 3, −4, −4, 5 . המכפלות של ההפרשים בכל זוג: −15, 0, −20, 0 . הסכום שלהן הוא −35 .
השוואת מקדמי מתאם
לדוגמה: נתונות שלוש טבלאות של זוגות ערכים. טבלה א:
| x | y |
|---|---|
| 3 | 26 |
| 5 | 20 |
| 10 | 5 |
| 11 | 2 |
| x | y |
|---|---|
| 3 | 8 |
| 9 | 23 |
| 10 | 26 |
| 11 | 22 |
| x | y |
|---|---|
| 1 | 31 |
| 9 | 25 |
| 10 | 26 |
| 11 | 21 |
- טבלה ב
- טבלה ג
- טבלה א
תשובה ופתרון
התשובה: טבלה א
בטבלה א כל הזוגות על ישר אחד יורד: בכל פעם שהערך של x גדל, הערך של y קטן באותו יחס. לכן שם מקדם המתאם שווה למינוס אחת.
תכונות מקדם המתאם
לדוגמה: מקדם המתאם הלינארי של קבוצת זוגות הוא r = −0.18 . מוסיפים 20 לכל ערך של y . מה קורה למקדם המתאם?
- הערך המוחלט שלו גדל
- הערך המוחלט שלו קטן
- הוא מחליף סימן
- הוא אינו משתנה
תשובה ופתרון
התשובה: הוא אינו משתנה
הוספת קבוע מזיזה את כל הנקודות למעלה, ואינה משנה את הקשר: מקדם המתאם אינו משתנה.
ישר הרגרסיה
לדוגמה: בקבוצת זוגות: r = 0.9 , Sx = 2 , Sy = 11 , ונקודת הממוצעים היא (x̄, ȳ) = (72, 68) . מהו השיפוע של ישר הרגרסיה של y על x ?
תשובה ופתרון
התשובה: 4.95
מציבים: b = 0.9 · 11 : 2 = 4.95
ניבוי בעזרת ישר הרגרסיה
לדוגמה: בדיאגרמת הפיזור 8 נקודות וישר הרגרסיה שלהן, y = 0.81x + 2.71 .
מהו ערך הניבוי של y עבור x = 4.5 ? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.תשובה ופתרון
התשובה: 6.4
מציבים: y = 0.81 · 4.5 + 2.71 ≈ 6.4
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: חישוב מקדם המתאם בעזרת טכנולוגיה לנתונים רבים · בניית ישר הרגרסיה מנתונים גולמיים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).