# מתאם ורגרסיה לכיתה י״א · 4 יח״ל

> מתאם ורגרסיה לכיתה י״א · 4 יח״ל: דיאגרמת פיזור, נקודת הממוצעים וגרף הממוצעים, חישוב מקדם המתאם ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא מתאם ורגרסיה בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים דיאגרמת פיזור, נקודת הממוצעים וגרף הממוצעים, חישוב מקדם המתאם, השוואת מקדמי מתאם, תכונות מקדם המתאם, ישר הרגרסיה וניבוי בעזרת ישר הרגרסיה.

דיאגרמת פיזור מציגה זוגות של ערכים כנקודות. כשהנקודות עולות משמאל לימין יש קשר חיובי, כשהן יורדות יש קשר שלילי, וכשאין להן כיוון אין קשר. ככל שהנקודות קרובות יותר לישר אחד, הקשר הלינארי חזק יותר, וכשכולן על ישר אחד הקשר מושלם.

מקדם המתאם הלינארי מודד את הקשר במספר אחד, תמיד בין מינוס אחת לאחת. הסימן שלו הוא כיוון הקשר, והגודל שלו הוא החוזק. הוא אינו משתנה כשמוסיפים קבוע לערכים או משנים את היחידות, והוא אותו מספר כשמחליפים בין שני המשתנים. כפל של אחד המשתנים במספר שלילי מחליף את הסימן שלו.

כדי לחשב אותו מוצאים את הממוצעים ואת סטיות התקן, כופלים בכל זוג את ההפרשים מהממוצעים ומחברים. מקדם המתאם הוא הסכום הזה מחולק במספר הזוגות כפול שתי סטיות התקן. לציוני תקן הוא פשוט הממוצע של המכפלות.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים, והשיפוע שלו הוא מקדם המתאם כפול סטיית התקן של הערכים האנכיים, מחולק בסטיית התקן של הערכים האופקיים. מציבים בו ערך ומקבלים ניבוי. הניבוי אינו מדויק, והוא סביר רק בתחום של הנתונים. קשר חזק אינו מוכיח שמשתנה אחד גורם לשני.

**טיפ:** ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים.

## מה לומדים בנושא

### דיאגרמת פיזור

- דוגמה: בדיאגרמת הפיזור מוצגים זוגות של ערכים. (דיאגרמת פיזור של 10 נקודות) איזה קשר יש בין שני המשתנים?
- אפשרויות: קשר שלילי · אין קשר · קשר חיובי
- תשובה: קשר חיובי
- פתרון: ככל שערך אחד גדל, גם הערך השני נוטה לגדול: הנקודות עולות משמאל לימין. זה קשר חיובי.

### נקודת הממוצעים וגרף הממוצעים

- דוגמה: בטבלה חמישה זוגות של ערכים. (טבלה של זוגות ערכים) מהי נקודת הממוצעים?
- תשובה: (9, 18)
- פתרון: סכום ערכי x הוא 45 , ולכן x̄ = 9 . סכום ערכי y הוא 90 , ולכן ȳ = 18 . נקודת הממוצעים היא (9, 18)

### חישוב מקדם המתאם

- דוגמה: בטבלה ארבעה זוגות של ערכים. (טבלה של זוגות ערכים) מהו סכום המכפלות (x − x̄)(y − ȳ) של כל הזוגות?
- תשובה: −35
- פתרון: הממוצעים הם x̄ = 7 ו־ ȳ = 15 . ההפרשים מהממוצע של x : −5, 0, 5, 0 . ההפרשים מהממוצע של y : 3, −4, −4, 5 . המכפלות של ההפרשים בכל זוג: −15, 0, −20, 0 . הסכום שלהן הוא −35 .

### השוואת מקדמי מתאם

- דוגמה: נתונות שלוש טבלאות של זוגות ערכים. טבלה א: (טבלה א, ארבעה זוגות של ערכים) טבלה ב: (טבלה ב, ארבעה זוגות של ערכים) טבלה ג: (טבלה ג, ארבעה זוגות של ערכים) באיזו טבלה מקדם המתאם הלינארי שווה למינוס אחת?
- אפשרויות: טבלה ב · טבלה ג · טבלה א
- תשובה: טבלה א
- פתרון: בטבלה א כל הזוגות על ישר אחד יורד: בכל פעם שהערך של x גדל, הערך של y קטן באותו יחס. לכן שם מקדם המתאם שווה למינוס אחת.

### תכונות מקדם המתאם

- דוגמה: מקדם המתאם הלינארי של קבוצת זוגות הוא r = −0.18 . מוסיפים 20 לכל ערך של y . מה קורה למקדם המתאם?
- אפשרויות: הערך המוחלט שלו גדל · הערך המוחלט שלו קטן · הוא מחליף סימן · הוא אינו משתנה
- תשובה: הוא אינו משתנה
- פתרון: הוספת קבוע מזיזה את כל הנקודות למעלה, ואינה משנה את הקשר: מקדם המתאם אינו משתנה.

### ישר הרגרסיה

- דוגמה: בקבוצת זוגות: r = 0.9 , Sx = 2 , Sy = 11 , ונקודת הממוצעים היא (x̄, ȳ) = (72, 68) . מהו השיפוע של ישר הרגרסיה של y על x ?
- תשובה: 4.95
- פתרון: מציבים: b = 0.9 · 11 : 2 = 4.95

### ניבוי בעזרת ישר הרגרסיה

- דוגמה: בדיאגרמת הפיזור 8 נקודות וישר הרגרסיה שלהן, y = 0.81x + 2.71 . (דיאגרמת פיזור של 8 נקודות וישר הרגרסיה שלהן) מהו ערך הניבוי של y עבור x = 4.5 ? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.
- תשובה: 6.4
- פתרון: מציבים: y = 0.81 · 4.5 + 2.71 ≈ 6.4

## עוד לא באתר

- חישוב מקדם המתאם בעזרת טכנולוגיה לנתונים רבים
- בניית ישר הרגרסיה מנתונים גולמיים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-4u/)