קדם־אנליזה: הפונקציה ההופכית לכיתה י״א · 4 יח״ל
בנושא קדם־אנליזה: הפונקציה ההופכית בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים תחום ההגדרה של הפונקציה ההופכית, אסימפטוטות וחיתוך עם הציר האופקי, תחומי חיוביות ושליליות, לאן הפונקציה ההופכית שואפת, מהפונקציה אל ההופכית שלה והזזות, שיקופים ומתיחות. הפונקציה ההופכית של פונקציה נתונה היא אחת חלקי הפונקציה. היא אינה מוגדרת היכן שהפונקציה הנתונה מתאפסת, ושם יש לגרף שלה אסימפטוטה אנכית. היא עצמה לעולם אינה מתאפסת, כי שבר שהמונה שלו הוא אחת אינו שווה לאפס.
לפונקציה ההופכית תמיד אותו סימן כמו לפונקציה הנתונה. כשהפונקציה הנתונה עולה, ההופכית יורדת, וכשהנתונה יורדת, ההופכית עולה. בנקודת מינימום חיובית של הפונקציה הנתונה יש להופכית נקודת מקסימום. כשהפונקציה הנתונה גדלה ללא גבול בערכה המוחלט, ההופכית שואפת לאפס, ולכן הציר האופקי הוא האסימפטוטה האופקית שלה. הגרף של אחת חלקי ההפרש בין איקס למספר, ועוד מספר נוסף, הוא הגרף של אחת חלקי איקס אחרי הזזה, והאסימפטוטות זזות יחד איתו. שיקוף ביחס לציר האופקי הופך את הסימן של כל ערך, שיקוף ביחס לציר האנכי מחליף את המשתנה בנגדי שלו, מתיחה בכיוון האנכי כופלת כל ערך במספר, וערך מוחלט משקף את החלקים שמתחת לציר האופקי.
טיפ: לפני כל שאלה, מצאו היכן הפונקציה הנתונה מתאפסת: בדיוק שם נמצאות האסימפטוטות האנכיות של ההופכית.
מה לומדים בנושא
תחום ההגדרה של הפונקציה ההופכית
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x + 5 , ונתונה הפונקציה g(x) = 1 / f(x) . לאיזה ערך של x הפונקציה g אינה מוגדרת?
תשובה ופתרון
התשובה: −5
הפונקציה הנתונה x + 5 מתאפסת כאשר x = −5 . שם הפונקציה ההופכית אינה מוגדרת.
אסימפטוטות וחיתוך עם הציר האופקי
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x + 5 , ונתונה הפונקציה g(x) = 1 / f(x) . מצאו את האסימפטוטה האנכית של הגרף של g .
תשובה ופתרון
התשובה: −5
הפונקציה הנתונה מתאפסת כאשר x = −5 , ושם הפונקציה ההופכית גדלה או קטנה ללא גבול. האסימפטוטה האנכית: x = −5 .
תחומי חיוביות ושליליות
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x + 5 , ונתונה הפונקציה g(x) = 1 / f(x) . לאילו ערכים של x מתקיים g(x) > 0 ?
תשובה ופתרון
התשובה: x > −5
לפונקציה ההופכית יש אותו סימן כמו לפונקציה הנתונה, והפונקציה הנתונה חיובית כאשר x > −5 .
| x < −5 | x > −5 |
|---|---|
| − | + |
לאן הפונקציה ההופכית שואפת
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −4x + 6 , ונתונה הפונקציה g(x) = 1 / f(x) . מה קורה לפונקציה g כאשר x → ∞ ?
- גדלה ללא גבול
- קטנה ללא גבול
- שואפת למספר 1
- שואפת לאפס
תשובה ופתרון
התשובה: שואפת לאפס
באופן אינטואיטיבי: כשהמשתנה גדל ללא גבול, הפונקציה הנתונה גדלה או קטנה ללא גבול, ולכן אחת חלקי הפונקציה הנתונה קטנה מאוד בערכה המוחלט: היא שואפת לאפס.
מהפונקציה אל ההופכית שלה
לדוגמה: לפונקציה הריבועית f יש נקודת מינימום (−4, 4) , ונתונה הפונקציה g(x) = 1 / f(x) . לאיזה ערך של x יש לפונקציה g נקודת קיצון?
תשובה ופתרון
התשובה: −4
הפונקציה הנתונה חיובית בכל מקום, והיא הכי קטנה כאשר x = −4 . שם אחת חלקי הפונקציה הכי גדולה, ולכן לפונקציה ההופכית יש שם נקודת מקסימום: g(−4) = 1 / 4 .
הזזות, שיקופים ומתיחות
לדוגמה: נתונה הפונקציה g(x) = 1 / (x + 4) + 5 . מצאו את הנקודה שבה נפגשות שתי האסימפטוטות של הגרף שלה.
תשובה ופתרון
התשובה: (−4, 5)
המכנה מתאפס כאשר x = −4 , וזו האסימפטוטה האנכית. רחוק מהראשית השבר מתקרב לאפס, ולכן האסימפטוטה האופקית היא y = 5 . הן נפגשות בנקודה (−4, 5) .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: סרטוט סקיצה של הגרף · גבולות כתשובה מחושבת.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).