חקירת פונקציה רציונלית לכיתה י״א · 4 יח״ל

בנושא חקירת פונקציה רציונלית בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים תחום ההגדרה, אסימפטוטה אופקית, אי־שוויונות ותחומי חיוביות ושליליות, נקודות קיצון, פונקציה זוגית ואי־זוגית ומציאת פרמטר. חקירה של פונקציה רציונלית מתחילה בתחום ההגדרה: הפונקציה אינה מוגדרת היכן שהמכנה מתאפס, ושם יש לגרף שלה אסימפטוטה אנכית. בתוכנית אין פונקציות שבהן המונה והמכנה מתאפסים באותה נקודה. רחוק מהראשית קובעות החזקות הגבוהות ביותר: כשהמעלה של המונה קטנה מהמעלה של המכנה, האסימפטוטה האופקית היא הציר האופקי, וכשהמעלות שוות, היא בגובה המנה של המקדמים של החזקות הגבוהות.

הסימן של פונקציה רציונלית משתנה רק במקומות שבהם המונה או המכנה מתאפסים. היכן שהמונה מתאפס הגרף חותך את הציר האופקי, ואת הציר האנכי הוא חותך בערך של הפונקציה באפס. מסמנים את המקומות האלה על ציר המספרים ובודקים את הסימן בכל תחום ביניהם, וכך פותרים גם אי־שוויונות. מקום שבו המכנה מתאפס אף פעם אינו חלק מהפתרון, כי שם הפונקציה אינה מוגדרת. נקודות קיצון מוצאים בעזרת הנגזרת: היכן שהיא מתאפסת ומחליפה סימן יש נקודת קיצון, ובתחום סגור משווים גם לערכים בקצוות. פונקציה זוגית מקבלת אותו ערך במספר ובנגדי שלו, והגרף שלה סימטרי ביחס לציר האנכי. פונקציה אי־זוגית מקבלת שם ערכים נגדיים, והגרף שלה סימטרי ביחס לראשית.

טיפ: לפני כל שאלה, מצאו היכן המונה והמכנה מתאפסים: מהמקומות האלה נבנית כל טבלת סימנים.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

תחום ההגדרה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (5x − 7) / (x + 5) . לאיזה ערך של x היא אינה מוגדרת?

תשובה ופתרון

התשובה: −5

המכנה x + 5 מתאפס כאשר x = −5 , ושם הפונקציה אינה מוגדרת.

אסימפטוטה אופקית

לדוגמה: לגרף של y = (−7x − 7) / (6x + 7) יש אסימפטוטה אופקית y = k . מצאו את k כשבר מצומצם.

תשובה ופתרון

התשובה: −7/6

במונה ובמכנה המעלה היא אחת, ולכן הפונקציה שואפת למנה של המקדמים של x : k = −7/6 .

אי־שוויונות ותחומי חיוביות ושליליות

לדוגמה: לאילו ערכים של x מתקיים אי־השוויון (x + 5) / (x − 6) > 0 ?

תשובה ופתרון

התשובה: איקס קטן ממינוס חמש או איקס גדול משש

המונה מתאפס כאשר x = −5 והמכנה כאשר x = 6 . משמאל לשני הערכים ומימינם למונה ולמכנה אותו סימן, ולכן הפונקציה חיובית שם, וביניהם היא שלילית. לכן התשובה היא x < −5 או x > 6 .

נקודות קיצון

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (x² + 1) / x . מצאו את נקודת המינימום שלה בתחום x > 0 .

תשובה ופתרון

התשובה: (1, 2)

הנגזרת f′(x) = (x² − 1) / x² מתאפסת בתחום כאשר x = 1 . משמאל לנקודה הזו הנגזרת שלילית ומימינה חיובית, ולכן הפונקציה יורדת ואחר כך עולה, ויש לה שם נקודת מינימום: f(1) = 2/1 = 2 . נקודת המינימום: (1, 2) .

פונקציה זוגית ואי־זוגית

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (x² + 6) / (x² − 2) . האם היא זוגית, אי־זוגית, או לא זוגית ולא אי־זוגית?

תשובה ופתרון

התשובה: זוגית

מציבים את הנגדי של המשתנה במקומו: f(−x) = (x² + 6) / (x² − 2) . זו בדיוק הפונקציה הנתונה, ולכן היא זוגית: הגרף שלה סימטרי ביחס לציר האנכי.

מציאת פרמטר

לדוגמה: הגרף של הפונקציה f(x) = (x + a) / (x − 3) עובר דרך הנקודה (2, −3) . מצאו את a .

תשובה ופתרון

התשובה: 1

מציבים את הנקודה: −3 = (2 + a) / (2 − 3) . כופלים במכנה: −3 · (−1) = 2 + a , ולכן a = 1 .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: סרטוט סקיצה של הגרף · נקודות שמאפסות מונה ומכנה (לא בתוכנית) · הנגזרת השנייה (לא בתוכנית).

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←