התפלגות נורמלית לכיתה י״א · 4 יח״ל
בנושא התפלגות נורמלית בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים ציון התקן, תכונות עקומת הפעמון, קריאה בטבלת ההתפלגות, השטח בין שני ערכים, מציאת ערך לפי אחוזים, מציאת הממוצע וסטיית התקן, השוואה בין שני מבחנים, כמה ציונים בתחום והתפלגות נורמלית וחוקי ההסתברות. בהתפלגות נורמלית הערכים מתרכזים סביב הממוצע, והגרף שלה הוא עקומת פעמון סימטרית: השיא שלה מעל הממוצע, וככל שסטיית התקן גדולה יותר הפעמון רחב ונמוך יותר. השטח מתחת לעקומה כולה שווה לאחת, והשטח מעל קטע הוא החלק מהערכים שנמצאים בו.
ציון התקן של ערך אומר כמה סטיות תקן הוא רחוק מהממוצע: מחסרים את הממוצע ומחלקים בסטיית התקן. ציון תקן חיובי הוא מעל הממוצע, ושלילי הוא מתחתיו. בערך 68 אחוזים מהערכים נמצאים עד סטיית תקן אחת מהממוצע, ובערך 95 אחוזים עד שתי סטיות תקן. הטבלה נותנת לכל ציון תקן את השטח שמשמאלו, כלומר את החלק מהערכים שקטנים ממנו. השטח שמימין הוא אחת פחות השטח שמשמאל, השטח בין שני ערכים הוא ההפרש בין השטחים, ובגלל הסימטריה החלק שמתחת לציון תקן שלילי שווה לחלק שמעל הציון החיובי שכנגדו. בדרך ההפוכה מחפשים בטבלה את השטח הקרוב ביותר לחלק הנתון, קוראים את ציון התקן, ומחשבים את הערך: הממוצע ועוד ציון התקן כפול סטיית התקן. כך מוצאים גם ממוצע או סטיית תקן חסרים, משווים בין ציונים במבחנים שונים, ומחשבים כמה ערכים נמצאים בתחום.
טיפ: הטבלה נותנת את השטח משמאל לציון התקן.
מה לומדים בנושא
ציון התקן
לדוגמה: ציוני מבחן מתפלגים עם ממוצע 46 וסטיית תקן 20 . מהו ציון התקן של הציון 6 ?
תשובה ופתרון
התשובה: −2
מציבים: z = (6 − 46) : 20 , כלומר z = −2 .
תכונות עקומת הפעמון
לדוגמה: ערכים מתפלגים נורמלית. איזו מהטענות נכונה?
- סטיית התקן של ציוני התקן היא 0.
- הממוצע של ציוני התקן הוא 1.
- השיא של העקומה נמצא מעל סטיית התקן.
- בערך מחצית מהערכים גדולים מהממוצע.
תשובה ופתרון
התשובה: בערך מחצית מהערכים גדולים מהממוצע.
בערך מחצית מהערכים גדולים מהממוצע. העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן מחצית מהשטח שמתחתיה נמצאת מימין לממוצע.
קריאה בטבלת ההתפלגות
לדוגמה: המשתנה Z מתפלג נורמלית סטנדרטית, כלומר עם ממוצע 0 וסטיית תקן 1 . מהי P(Z < 0.39) באחוזים, עד ספרה אחת אחרי הנקודה?
| z | P(Z < z) |
|---|---|
| 0.39 | 0.6517 |
תשובה ופתרון
התשובה: 65.2%
בטבלה: P(Z < 0.39) = 0.6517 , כלומר 65.2 אחוזים.
השטח בין שני ערכים
לדוגמה: ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם ממוצע 46 וסטיית תקן 25 . מה ההסתברות שציון שנבחר באקראי נמצא בין 35 לבין 57 , באחוזים, עד ספרה אחת אחרי הנקודה?
| z | P(Z < z) |
|---|---|
| 0.44 | 0.6700 |
תשובה ופתרון
התשובה: 34%
ציוני התקן של הקצוות הם −0.44 ו־ 0.44 . לפי הסימטריה, השטח ביניהם הוא 2 · 0.6700 − 1 = 0.3400 , כלומר 34 אחוזים.
מציאת ערך לפי אחוזים
לדוגמה: המשתנה Z מתפלג נורמלית סטנדרטית. מעל איזה ערך של z נמצאים 5 האחוזים העליונים? ענו לפי השורה הקרובה ביותר בטבלה.
| z | P(Z < z) |
|---|---|
| 1.63 | 0.9484 |
| 1.64 | 0.9495 |
| 1.65 | 0.9505 |
תשובה ופתרון
התשובה: 1.64
החלק שמתחת לערך הוא 0.9500 . השורה הקרובה ביותר היא z = 1.64 , שבה 0.9495 . גם השורה z = 1.65 רחוקה באותה מידה, ולוקחים את הקטנה מביניהן.
מציאת הממוצע וסטיית התקן
לדוגמה: ציוני מבחן מתפלגים נורמלית עם סטיית תקן 5 . ידוע ש־95 אחוזים מהציונים נמוכים מ־ 48 . מהו הממוצע? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.
| z | P(Z < z) |
|---|---|
| 1.63 | 0.9484 |
| 1.64 | 0.9495 |
| 1.65 | 0.9505 |
תשובה ופתרון
התשובה: 39.8
החלק שמתחת לערך הוא 0.9500 . השורה הקרובה ביותר היא z = 1.64 , שבה 0.9495 . גם השורה z = 1.65 רחוקה באותה מידה, ולוקחים את הקטנה מביניהן. מציבים בנוסחה x = μ + z · σ : 48 = μ + 1.64 · 5 . מכאן μ = 39.8 .
השוואה בין שני מבחנים
לדוגמה: ציוני המבחן הראשון מתפלגים נורמלית עם ממוצע 54 וסטיית תקן 20 . ציוני המבחן השני מתפלגים נורמלית עם ממוצע 55 וסטיית תקן 10 . במבחן הראשון התקבל הציון 85 , ובמבחן השני הציון 64 . איזה מהם טוב יותר ביחס לשאר הציונים באותו מבחן?
- הציון במבחן השני
- שניהם טובים באותה מידה
- הציון במבחן הראשון
תשובה ופתרון
התשובה: הציון במבחן הראשון
ציוני התקן: z = (85 − 54) : 20 = 1.55 במבחן הראשון, ו־ z = (64 − 55) : 10 = 0.90 במבחן השני. ציון התקן 1.55 גדול מ־ 0.90 , ולכן הציון במבחן הראשון טוב יותר יחסית.
כמה ציונים בתחום
לדוגמה: במבחן התקבלו 1000 ציונים, והם מתפלגים נורמלית עם ממוצע 45 וסטיית תקן 20 . כמה מהציונים נמוכים מ־ 9 ?
| z | P(Z < z) |
|---|---|
| 1.80 | 0.9641 |
תשובה ופתרון
התשובה: 36
ציון התקן: z = (9 − 45) : 20 = −1.80 . בטבלה: P(Z < −1.80) = 1 − 0.9641 = 0.0359 . מספר הציונים: 1000 · 0.0359 = 35.9 , כלומר בערך 36 .
התפלגות נורמלית וחוקי ההסתברות
לדוגמה: ציוני המבחן הראשון מתפלגים נורמלית עם ממוצע 63 וסטיית תקן 12 , וציוני המבחן השני עם ממוצע 65 וסטיית תקן 15 . בוחרים באקראי ציון מכל מבחן, באופן בלתי תלוי. מה ההסתברות ששני הציונים גבוהים מ־ 78 , באחוזים, עד ספרה אחת אחרי הנקודה?
| z | P(Z < z) |
|---|---|
| 0.87 | 0.8078 |
| 1.25 | 0.8944 |
תשובה ופתרון
התשובה: 2%
במבחן הראשון: z = (78 − 63) : 12 = 1.25 . בטבלה P(Z < 1.25) = 0.8944 , ולכן P(X > 78) = 1 − 0.8944 = 0.1056 . במבחן השני: z = (78 − 65) : 15 = 0.87 . בטבלה P(Z < 0.87) = 0.8078 , ולכן P(X > 78) = 1 − 0.8078 = 0.1922 . הציונים בלתי תלויים, ולכן מכפילים: 0.1056 · 0.1922 ≈ 0.02030 , כלומר 2 אחוזים.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: טבלה מלאה של ההתפלגות (האתר מציג את השורות הדרושות) · הסקת נוסחת הצפיפות · התפלגויות לא סימטריות.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).