האינטגרל המסוים ושטחים לכיתה י״א · 4 יח״ל
בנושא האינטגרל המסוים ושטחים בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים פונקציה קדומה של מנה, האינטגרל המסוים, שטח בין גרף לציר, שטח משני צדי הציר, שטח בין שני גרפים ומציאת פרמטר. האינטגרל המסוים מחשבים בעזרת פונקציה קדומה: מוצאים פונקציה קדומה, מציבים בה את הגבול העליון ואת הגבול התחתון, ומחסרים. לפונקציה שבמונה שלה מספר ובמכנה ריבוע של ביטוי לינארי יש פונקציה קדומה שבמכנה שלה הביטוי עצמו, עם סימן מינוס.
כשהגרף מעל הציר האופקי, האינטגרל שווה לשטח שבין הגרף לציר. כשהגרף מתחת לציר, האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך הנגדי שלו. כשהגרף חוצה את הציר בתוך התחום, מחלקים את התחום בנקודת החיתוך ומחברים את הערכים המוחלטים של החלקים. השטח שבין שני גרפים הוא האינטגרל של הגרף העליון פחות הגרף התחתון, בין נקודות החיתוך שלהם. כשאחד הגבולות או אחד המקדמים אינו ידוע, מבטאים את האינטגרל בעזרתו ומשווים לערך הנתון.
טיפ: לפני שמחשבים שטח, בודקים היכן הגרף מעל הציר והיכן מתחתיו.
מה לומדים בנושא
פונקציה קדומה של מנה
לדוגמה: איזו מהפונקציות היא פונקציה קדומה של f(x) = 3 / (x + 6)² ?
- F(x) = 3 / (x + 6)
- F(x) = −3 / (2(x + 6))
- F(x) = −6 / (x + 6)³
- F(x) = −3 / (x + 6)
תשובה ופתרון
התשובה: אֶף גדולה שֶׁל איקס שווה מינוס שלוש חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים
גוזרים את F(x) = −3 / (x + 6) : F′(x) = 3 / (x + 6)² . זו הפונקציה הנתונה, ולכן F היא פונקציה קדומה שלה.
האינטגרל המסוים
לדוגמה: חשבו את האינטגרל ∫₁⁴ 7 dx .
תשובה ופתרון
התשובה: 21
פונקציה קדומה: F(x) = 7x . האינטגרל: F(4) − F(1) , כלומר 28 − 7 = 21 .
שטח בין גרף לציר
לדוגמה: מצאו את השטח שבין הישר y = x , הציר האופקי והישר x = 6 .
תשובה ופתרון
התשובה: 18
האינטגרל: ∫₀⁶ x dx = 18 . השטח: 18 .
שטח משני צדי הציר
לדוגמה: מצאו את השטח הכולל שבין y = x לבין הציר האופקי בתחום −1 ≤ x ≤ 6 .
תשובה ופתרון
התשובה: 37/2
הגרף חוצה את הציר כאשר x = 0 . החלק הראשון: ∫₋₁⁰ x dx = −1/2 . החלק השני: ∫₀⁶ x dx = 18 . השטח הכולל: 1/2 + 18 = 37/2 .
שטח בין שני גרפים
לדוגמה: מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים y = 1 ו־ y = x² .
תשובה ופתרון
התשובה: 4/3
הגרפים נפגשים כאשר x = −1 וכאשר x = 1 . ביניהם הגרף y = 1 הוא העליון, ולכן השטח הוא ∫₋₁¹ (−x² + 1) dx , כלומר 4/3 .
מציאת פרמטר
לדוגמה: האינטגרל המסוים של 2x מהגבול x = 0 עד הגבול x = a שווה ל־ 9 . מצאו את a , כאשר a > 0 .
תשובה ופתרון
התשובה: 3
פונקציה קדומה: x² , ולכן האינטגרל הוא a² − 0 = 9 . מכיוון ש־ a > 0 , מקבלים a = 3 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שטחים מורכבים מעבר לשני גרפים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).