# האינטגרל המסוים ושטחים לכיתה י״א · 4 יח״ל

> האינטגרל המסוים ושטחים לכיתה י״א · 4 יח״ל: פונקציה קדומה של מנה, האינטגרל המסוים, שטח בין גרף לציר ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא האינטגרל המסוים ושטחים בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים פונקציה קדומה של מנה, האינטגרל המסוים, שטח בין גרף לציר, שטח משני צדי הציר, שטח בין שני גרפים ומציאת פרמטר.

האינטגרל המסוים מחשבים בעזרת פונקציה קדומה: מוצאים פונקציה קדומה, מציבים בה את הגבול העליון ואת הגבול התחתון, ומחסרים. לפונקציה שבמונה שלה מספר ובמכנה ריבוע של ביטוי לינארי יש פונקציה קדומה שבמכנה שלה הביטוי עצמו, עם סימן מינוס.

כשהגרף מעל הציר האופקי, האינטגרל שווה לשטח שבין הגרף לציר. כשהגרף מתחת לציר, האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך הנגדי שלו. כשהגרף חוצה את הציר בתוך התחום, מחלקים את התחום בנקודת החיתוך ומחברים את הערכים המוחלטים של החלקים.

השטח שבין שני גרפים הוא האינטגרל של הגרף העליון פחות הגרף התחתון, בין נקודות החיתוך שלהם. כשאחד הגבולות או אחד המקדמים אינו ידוע, מבטאים את האינטגרל בעזרתו ומשווים לערך הנתון.

**טיפ:** לפני שמחשבים שטח, בודקים היכן הגרף מעל הציר והיכן מתחתיו.

## מה לומדים בנושא

### פונקציה קדומה של מנה

- דוגמה: איזו מהפונקציות היא פונקציה קדומה של f(x) = 3 / (x + 6)² ?
- אפשרויות: אֶף גדולה שֶׁל איקס שווה שלוש חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים F(x) = 3 / (x + 6) · אֶף גדולה שֶׁל איקס שווה מינוס שלוש חלקי פותחים סוגריים שתיים פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים סוגרים סוגריים F(x) = −3 / (2(x + 6)) · אֶף גדולה שֶׁל איקס שווה מינוס שש חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים בשלישית F(x) = −6 / (x + 6)³ · אֶף גדולה שֶׁל איקס שווה מינוס שלוש חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים F(x) = −3 / (x + 6)
- תשובה: אֶף גדולה שֶׁל איקס שווה מינוס שלוש חלקי פותחים סוגריים איקס ועוד שש סוגרים סוגריים
- פתרון: גוזרים את F(x) = −3 / (x + 6) : F′(x) = 3 / (x + 6)² . זו הפונקציה הנתונה, ולכן F היא פונקציה קדומה שלה.

### האינטגרל המסוים

- דוגמה: חשבו את האינטגרל ∫₁⁴ 7 dx .
- תשובה: 21
- פתרון: פונקציה קדומה: F(x) = 7x . האינטגרל: F(4) − F(1) , כלומר 28 − 7 = 21 .

### שטח בין גרף לציר

- דוגמה: מצאו את השטח שבין הישר y = x , הציר האופקי והישר x = 6 . (מערכת צירים ובה הגרף של הפונקציה, והתחום שבינו לבין הציר האופקי מסומן)
- תשובה: 18
- פתרון: האינטגרל: ∫₀⁶ x dx = 18 . השטח: 18 .

### שטח משני צדי הציר

- דוגמה: מצאו את השטח הכולל שבין y = x לבין הציר האופקי בתחום −1 ≤ x ≤ 6 . (מערכת צירים ובה הגרף של הפונקציה, והתחום שבינו לבין הציר האופקי מסומן משני צדי הציר)
- תשובה: 37/2
- פתרון: הגרף חוצה את הציר כאשר x = 0 . החלק הראשון: ∫₋₁⁰ x dx = −1/2 . החלק השני: ∫₀⁶ x dx = 18 . השטח הכולל: 1/2 + 18 = 37/2 .

### שטח בין שני גרפים

- דוגמה: מצאו את השטח הכלוא בין הגרפים y = 1 ו־ y = x² . (מערכת צירים ובה שני הגרפים, והתחום הסגור שביניהם מסומן)
- תשובה: 4/3
- פתרון: הגרפים נפגשים כאשר x = −1 וכאשר x = 1 . ביניהם הגרף y = 1 הוא העליון, ולכן השטח הוא ∫₋₁¹ (−x² + 1) dx , כלומר 4/3 .

### מציאת פרמטר

- דוגמה: האינטגרל המסוים של 2x מהגבול x = 0 עד הגבול x = a שווה ל־ 9 . מצאו את a , כאשר a > 0 .
- תשובה: 3
- פתרון: פונקציה קדומה: x² , ולכן האינטגרל הוא a² − 0 = 9 . מכיוון ש־ a > 0 , מקבלים a = 3 .

## עוד לא באתר

- שטחים מורכבים מעבר לשני גרפים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-4u/)