בעיות קיצון עם פונקציות רציונליות ושורש לכיתה י״א · 4 יח״ל
בנושא בעיות קיצון עם פונקציות רציונליות ושורש בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים בניית הפונקציה, בעיות עם פונקציה רציונלית, בעיות עם פונקציית שורש, בעיות עם תיבה וערך גדול ביותר וקטן ביותר בתחום סגור. בעיית קיצון מתחילה בבחירת משתנה: מבטאים בעזרתו את הגודל שרוצים להגדיל או להקטין, וקובעים את התחום שבו המשתנה יכול לנוע. בבעיות האלה הפונקציה יכולה להיות רציונלית, למשל מספר ועוד כפולה של ההופכי שלו, או לכלול שורש, למשל מרחק בין שתי נקודות.
אחר כך גוזרים ומשווים לאפס. במקום שבו הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן יש נקודת קיצון: מינימום כשהיא עוברת משלילית לחיובית, ומקסימום כשהיא עוברת מחיובית לשלילית. כשהשורש נמצא במכנה של הנגזרת הוא חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי המונה. בתחום סגור הערך הגדול ביותר או הקטן ביותר יכול להתקבל גם בקצה של התחום, ולכן משווים את הערך בנקודת הקיצון לערכים בקצוות. בבעיות עם תיבה מבטאים את הגובה בעזרת צלע הבסיס והנפח הנתון, ושטח הפנים הוא סכום השטחים של כל הפאות.
טיפ: בסוף כל בעיה חוזרים לשאלה: לפעמים היא שואלת על המשתנה, ולפעמים על הערך של הגודל.
מה לומדים בנושא
בניית הפונקציה
לדוגמה: היקפו של מלבן הוא 14 , ואורך אחת הצלעות שלו x . כתבו את השטח שלו כפונקציה של x .
תשובה ופתרון
התשובה: −x² + 7x
סכום שתי צלעות סמוכות הוא חצי מההיקף, 7 , ולכן הצלע השנייה 7 − x . השטח: A(x) = x(7 − x) = −x² + 7x
בעיות עם פונקציה רציונלית
לדוגמה: המכפלה של שני מספרים חיוביים היא 9 . מהו הסכום הקטן ביותר האפשרי של שני המספרים?
תשובה ופתרון
התשובה: 6
מספר אחד הוא x , והמספר השני 9 / x . הסכום: S(x) = x + 9 / x התחום: x > 0 S′(x) = 1 − 9 / x² = 0 ולכן x² = 9 ומכאן x = 3 . כאשר x < 3 הנגזרת שלילית, וכאשר x > 3 היא חיובית. זו נקודת מינימום. גם המספר השני הוא 3 , והסכום הקטן ביותר: S(3) = 3 + 3 = 6
בעיות עם פונקציית שורש
לדוגמה: המרחק של הנקודה (x, x) על הישר y = x מהנקודה (2, 0) הוא D(x) = √((x − 2)² + x²) . לאיזה ערך של x המרחק הקטן ביותר?
תשובה ופתרון
התשובה: 1
פותחים את הסוגריים מתחת לשורש: D(x) = √(2x² − 4x + 4) . הנגזרת: D′(x) = (2x − 2) / D(x) . השורש במכנה חיובי, ולכן לנגזרת יש הסימן של המונה. הנגזרת מתאפסת כאשר x = 1 . כאשר x < 1 הנגזרת שלילית, וכאשר x > 1 היא חיובית. זו נקודת מינימום. המרחק הקטן ביותר מתקבל בנקודה (1, 1) .
בעיות עם תיבה
לדוגמה: מגיליון ריבועי שאורך הצלע שלו 6 גוזרים בכל פינה ריבוע שאורך הצלע שלו x , ומקפלים את השוליים כלפי מעלה לקופסה פתוחה בצורת תיבה. לאיזה ערך של x הנפח של הקופסה הגדול ביותר?
תשובה ופתרון
התשובה: 1
הבסיס הוא ריבוע שאורך הצלע שלו 6 − 2x , והגובה x . הנפח: V(x) = x(6 − 2x)² V(x) = 4x³ − 24x² + 36x התחום: 0 < x < 3 V′(x) = 12x² − 48x + 36 . הנגזרת מתאפסת כאשר x = 1 או כאשר x = 3 , ורק הערך הראשון נמצא בתחום. כאשר x < 1 הנגזרת חיובית, וכאשר x > 1 היא שלילית. זו נקודת מקסימום. הנפח הגדול ביותר מתקבל כאשר x = 1 .
ערך גדול ביותר וקטן ביותר בתחום סגור
לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x + 1 / x . מצאו את הערך הגדול ביותר שלה בתחום 1 ≤ x ≤ 4 .
תשובה ופתרון
התשובה: 4.25
הנגזרת: f′(x) = 1 − 1 / x² . בתוך התחום הנגזרת חיובית, ולכן הפונקציה עולה בו כולו. בקצוות: f(1) = 2 וגם f(4) = 4 + 0.25 = 4.25 . הערך הגדול ביותר: 4.25 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: בעיות קיצון עם משולשים במעגל (גאומטריה במרחב מעבר לתיבה).
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).