מעגל חסום ומעגל חוסם, היקף ושטח לכיתה י״א · 4 יח״ל
בנושא מעגל חסום ומעגל חוסם, היקף ושטח בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים מרכז המעגל החסום, מעגל חסום במשולש ישר זווית, היקף המעגל, שטח העיגול, רדיוס המעגל החוסם ושטח המקבילית. מעגל חסום במשולש משיק לשלוש הצלעות שלו, ומרכזו הוא נקודת המפגש של חוצי הזוויות. מעגל חוסם משולש עובר דרך שלושת הקודקודים, ומרכזו הוא נקודת המפגש של האנכים האמצעיים לצלעות. לכל משולש יש מעגל חסום ומעגל חוסם. הרדיוס של המעגל החוסם נמצא ממשפט הסינוסים: צלע חלקי הסינוס של הזווית שמולה שווה לקוטר.
שני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים, ולכן כל צלע של משולש שחוסם מעגל מורכבת משני קטעי משיקים. כשמחברים את מרכז המעגל החסום לקודקודים, המשולש מתחלק לשלושה משולשים שהגובה של כל אחד מהם הוא הרדיוס, ולכן השטח הוא הרדיוס כפול חצי ההיקף. היקף המעגל הוא פעמיים פאי כפול הרדיוס, ושטח העיגול הוא פאי כפול ריבוע הרדיוס. שטח מקבילית הוא מכפלת שתי צלעות סמוכות בסינוס הזווית שביניהן. הוכחה לדוגמה לכך שחוצי הזוויות של משולש נפגשים בנקודה אחת: כל נקודה על חוצה זווית נמצאת במרחק שווה משתי שוקי הזווית. חוצי שתי זוויות של המשולש נפגשים בנקודה, והיא במרחק שווה מהצלעות שיוצאות מהקודקוד הראשון, וגם מהצלעות שיוצאות מהקודקוד השני. לכן היא במרחק שווה משלוש הצלעות, ובפרט משתי הצלעות שיוצאות מהקודקוד השלישי, ולכן היא נמצאת גם על חוצה הזווית השלישית. המעגל שמרכזו בנקודה הזו ורדיוסו המרחק הזה משיק לשלוש הצלעות.
טיפ: מרכז המעגל החסום רחוק באותה מידה מהצלעות, ומרכז המעגל החוסם רחוק באותה מידה מהקודקודים.
מה לומדים בנושא
מרכז המעגל החסום
לדוגמה: במשולש ABC הנקודה O היא מרכז המעגל החסום, ונתון ∢A = 32° . מה גודל הזווית ∢BOC ?
תשובה ופתרון
התשובה: 106 °
סכום הזוויות ∢B ו־ ∢C הוא 180° − 32° = 148° , וחצי ממנו הוא 74° . זה סכום הזוויות ∢OBC ו־ ∢OCB , ולכן ∢BOC = 180° − 74° = 106° .
מעגל חסום במשולש ישר זווית
לדוגמה: במשולש ABC הזווית ∢C ישרה, והצלעות שלו (בס״מ) הן AC = 9, BC = 12, AB = 15 . במשולש חסום מעגל. מהו הרדיוס של המעגל?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
קטעי המשיקים ליד C שווים לרדיוס, וקטעי המשיקים מ־ A ומ־ B מרכיבים את היתר AB . לכן פעמיים הרדיוס הוא AC + BC − AB , והרדיוס הוא (9 + 12 − 15) : 2 = 3 .
היקף המעגל
לדוגמה: רדיוס המעגל הוא 2 ס״מ. מה היקף המעגל, בס״מ? כתבו את התשובה כמכפלה של π .
תשובה ופתרון
התשובה: 4π
ההיקף הוא 2π · 2 = 4π .
שטח העיגול
לדוגמה: רדיוס העיגול הוא 2 ס״מ. מה שטח העיגול, בסמ״ר? כתבו את התשובה כמכפלה של π .
תשובה ופתרון
התשובה: 4π
השטח הוא π · 2² = 4π .
רדיוס המעגל החוסם
לדוגמה: במשולש ABC נתון BC = 3 ו־ ∢A = 150° (האורך בס״מ). מהו הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
הסינוס של 150° הוא 1/2 , ולכן 2R = 3 / (1/2) . הרדיוס הוא חצי מזה: R = 3 .
שטח המקבילית
לדוגמה: במקבילית ABCD נתון AB = 4, AD = 12 (בס״מ) ו־ ∢A = 30° . מה שטח המקבילית, בסמ״ר?
תשובה ופתרון
התשובה: 24 סמ״ר
השטח הוא 4 · 12 · sin 30° . הסינוס של 30° הוא 1/2 , ולכן השטח הוא 24 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת משפטי המעגל החסום והחוסם · אורך קשת ושטח גזרה · העשרה: תולדות המספר פאי.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).