מעגל וישר בגאומטריה אנליטית לכיתה י״א · 4 יח״ל
בנושא מעגל וישר בגאומטריה אנליטית בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים מצב הדדי של ישר ומעגל, נקודות החיתוך של ישר ומעגל, המשיק למעגל, מעגל המשיק לצירים ומיתרים במעגל. מעגל הוא אוסף הנקודות שנמצאות במרחק קבוע מנקודה אחת, המרכז. לפי נוסחת המרחק, נקודה נמצאת על המעגל כשסכום ריבועי ההפרשים בין השיעורים שלה לשיעורי המרכז שווה לריבוע הרדיוס, וזו משוואת המעגל.
ישר ומעגל נפגשים בשתי נקודות, בנקודה אחת או בכלל לא. משווים את המרחק מהמרכז אל הישר לרדיוס: כשהמרחק קטן מהרדיוס הישר חותך את המעגל, כשהוא שווה לרדיוס הישר משיק למעגל, וכשהוא גדול מהרדיוס הם אינם נפגשים. דרך אחרת היא להציב את משוואת הישר במשוואת המעגל ולפתור: מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך. המשיק למעגל בנקודה מאונך לרדיוס אל הנקודה, ולכן השיפוע שלו הוא ההופכי של שיפוע הרדיוס בסימן הפוך. מעגל משיק לציר כשהמרחק של המרכז מהציר שווה לרדיוס. האנך מהמרכז של מעגל אל מיתר חוצה את המיתר. לכן חצי המיתר, האנך והרדיוס אל קצה המיתר יוצרים משולש ישר זווית, וממשפט פיתגורס מקבלים את אורך המיתר.
טיפ: המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
מה לומדים בנושא
מצב הדדי של ישר ומעגל
לדוגמה: נתונים המעגל (x + 3)² + (y − 4)² = 4 והישר 12x − 5y = −95 . מה המרחק של מרכז המעגל מהישר?
תשובה ופתרון
התשובה: 3
המרכז הוא (−3, 4) . באגף שמאל מקבלים −56 , וההפרש מאגף ימין הוא −56 − (−95) = 39 . השורש של סכום ריבועי המקדמים הוא √(144 + 25) = 13 , ולכן המרחק הוא 39 : 13 = 3 .
נקודות החיתוך של ישר ומעגל
לדוגמה:
הישר y = −3 חותך את המעגל x² + y² = 25 . מהם ערכי x של נקודות החיתוך?תשובה ופתרון
התשובה: x = −4 או x = 4
מציבים: x² + (−3)² = 25 , ולכן x² = 16 , כלומר x = 4 או x = −4 .
המשיק למעגל
לדוגמה:
הנקודה A(4, −3) נמצאת על המעגל x² + y² = 25 . מה השיפוע של המשיק למעגל בנקודה A ?תשובה ופתרון
התשובה: 4/3
השיפוע של הרדיוס OA הוא −3 : 4 = −3/4 , ולכן השיפוע של המשיק הוא 4/3 .
מעגל המשיק לצירים
לדוגמה: מעגל שמרכזו בנקודה (−5, 9) משיק לציר ה־ x . מה הרדיוס שלו?
תשובה ופתרון
התשובה: 9
המרחק של המרכז מציר ה־ x הוא הערך המוחלט של שיעור הוואי שלו, ולכן הרדיוס הוא 9 .
מיתרים במעגל
לדוגמה:
הנקודות A(−3, 8) ו־ B(1, 0) נמצאות על המעגל (x + 3)² + (y − 3)² = 25 . מהו אמצע המיתר AB ?תשובה ופתרון
התשובה: (−1, 4)
שיעור האיקס: (−3 + 1) : 2 = −1 , ושיעור הוואי: (8 + 0) : 2 = 4 , ולכן האמצע הוא (−1, 4) .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: המשוואה המורחבת של המעגל · משיק מנקודה חיצונית.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).