# מעגל וישר בגאומטריה אנליטית לכיתה י״א · 4 יח״ל

> מעגל וישר בגאומטריה אנליטית לכיתה י״א · 4 יח״ל: מצב הדדי של ישר ומעגל, נקודות החיתוך של ישר ומעגל ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא מעגל וישר בגאומטריה אנליטית בכיתה י״א · 4 יח״ל לומדים מצב הדדי של ישר ומעגל, נקודות החיתוך של ישר ומעגל, המשיק למעגל, מעגל המשיק לצירים ומיתרים במעגל.

מעגל הוא אוסף הנקודות שנמצאות במרחק קבוע מנקודה אחת, המרכז. לפי נוסחת המרחק, נקודה נמצאת על המעגל כשסכום ריבועי ההפרשים בין השיעורים שלה לשיעורי המרכז שווה לריבוע הרדיוס, וזו משוואת המעגל.

ישר ומעגל נפגשים בשתי נקודות, בנקודה אחת או בכלל לא. משווים את המרחק מהמרכז אל הישר לרדיוס: כשהמרחק קטן מהרדיוס הישר חותך את המעגל, כשהוא שווה לרדיוס הישר משיק למעגל, וכשהוא גדול מהרדיוס הם אינם נפגשים. דרך אחרת היא להציב את משוואת הישר במשוואת המעגל ולפתור: מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך.

המשיק למעגל בנקודה מאונך לרדיוס אל הנקודה, ולכן השיפוע שלו הוא ההופכי של שיפוע הרדיוס בסימן הפוך. מעגל משיק לציר כשהמרחק של המרכז מהציר שווה לרדיוס.

האנך מהמרכז של מעגל אל מיתר חוצה את המיתר. לכן חצי המיתר, האנך והרדיוס אל קצה המיתר יוצרים משולש ישר זווית, וממשפט פיתגורס מקבלים את אורך המיתר.

**טיפ:** המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

## מה לומדים בנושא

### מצב הדדי של ישר ומעגל

- דוגמה: נתונים המעגל (x + 3)² + (y − 4)² = 4 והישר 12x − 5y = −95 . מה המרחק של מרכז המעגל מהישר?
- תשובה: 3
- פתרון: המרכז הוא (−3, 4) . באגף שמאל מקבלים −56 , וההפרש מאגף ימין הוא −56 − (−95) = 39 . השורש של סכום ריבועי המקדמים הוא √(144 + 25) = 13 , ולכן המרחק הוא 39 : 13 = 3 .

### נקודות החיתוך של ישר ומעגל

- דוגמה: (מעגל שמרכזו בראשית הצירים, וישר שחותך אותו בשתי נקודות.) הישר y = −3 חותך את המעגל x² + y² = 25 . מהם ערכי x של נקודות החיתוך?
- תשובה: x = −4 או x = 4
- פתרון: מציבים: x² + (−3)² = 25 , ולכן x² = 16 , כלומר x = 4 או x = −4 .

### המשיק למעגל

- דוגמה: (מעגל ועליו נקודה מסומנת.) הנקודה A(4, −3) נמצאת על המעגל x² + y² = 25 . מה השיפוע של המשיק למעגל בנקודה A ?
- תשובה: 4/3
- פתרון: השיפוע של הרדיוס OA הוא −3 : 4 = −3/4 , ולכן השיפוע של המשיק הוא 4/3 .

### מעגל המשיק לצירים

- דוגמה: מעגל שמרכזו בנקודה (−5, 9) משיק לציר ה־ x . מה הרדיוס שלו?
- תשובה: 9
- פתרון: המרחק של המרכז מציר ה־ x הוא הערך המוחלט של שיעור הוואי שלו, ולכן הרדיוס הוא 9 .

### מיתרים במעגל

- דוגמה: (מעגל ובו מיתר שקצותיו מסומנים.) הנקודות A(−3, 8) ו־ B(1, 0) נמצאות על המעגל (x + 3)² + (y − 3)² = 25 . מהו אמצע המיתר AB ?
- תשובה: (−1, 4)
- פתרון: שיעור האיקס: (−3 + 1) : 2 = −1 , ושיעור הוואי: (8 + 0) : 2 = 4 , ולכן האמצע הוא (−1, 4) .

## עוד לא באתר

- המשוואה המורחבת של המעגל
- משיק מנקודה חיצונית

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-4u/)