טריגונומטריה בהקשר אורייני לכיתה י״א · 3 יח״ל
בנושא טריגונומטריה בהקשר אורייני בכיתה י״א · 3 יח״ל לומדים סינוס, קוסינוס וטנגנס, צלע ממשולש ישר זווית, זווית משתי צלעות, זווית גובה וזווית עומק, שתי זוויות, שני משולשים וצורות המורכבות ממשולשים ישרי זווית. במשולש ישר זווית, לכל זווית חדה יש שלושה יחסים בין צלעות. סינוס הוא הניצב שמול הזווית חלקי היתר, קוסינוס הוא הניצב שליד הזווית חלקי היתר, וטנגנס הוא הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה. היחסים תלויים רק בזווית ולא בגודל המשולש: במשולש מוגדל כל הצלעות גדלות פי אותו מספר.
כדי למצוא צלע, מזהים את הצלע הידועה ואת הצלע המבוקשת ביחס לזווית, בוחרים את היחס שמקשר ביניהן, ומחשבים במחשבון עם המקש של סינוס, קוסינוס או טנגנס, כשהמחשבון מכוון למעלות. כדי למצוא זווית משתי צלעות, מחלקים אותן ומשתמשים במקש ההפוך של אותו יחס. מעגלים רק בסוף, כפי שהשאלה מבקשת. זווית גובה נמדדת מהקו האופקי כלפי מעלה, אל מה שרואים, וזווית עומק נמדדת מהקו האופקי כלפי מטה. זווית העומק מראש צוק לסירה שווה לזווית הגובה מהסירה לראש הצוק, כי הקו האופקי בראש הצוק מקביל לקרקע. כשיש שתי זוויות, מחפשים שני משולשים ישרי זווית עם צלע משותפת, כמו הגובה של מגדל, ומוצאים מה שכל אחד מהם נותן. צורות אחרות פותרים בעזרת חלוקה למשולשים ישרי זווית. הגובה לבסיס של משולש שווה שוקיים, האלכסונים של מעוין והגבהים של טרפז שווה שוקיים יוצרים משולשים כאלה, וצלע שנמצאה במשולש אחד משמשת לשלב הבא, כמו שטח, מחיר או זמן.
טיפ: לפני שבוחרים יחס, מסמנים את הזווית ומזהים כל צלע ביחס אליה: מולה, לידה או היתר.
מה לומדים בנושא
סינוס, קוסינוס וטנגנס
לדוגמה: במשולש ישר הזווית שבציור, האורכים בסנטימטרים. מהו הקוסינוס של הזווית המסומנת? כותבים את התשובה כמספר עשרוני.
תשובה ופתרון
התשובה: 0.8
קוסינוס הוא הניצב שליד הזווית חלקי היתר: cos α = 20 : 25 = 0.8
צלע ממשולש ישר זווית
לדוגמה: סולם באורך 4 מ׳ נשען על קיר, והזווית בינו לבין הקרקע היא 79 מעלות. לאיזה גובה על הקיר מגיע הסולם? עגלו את התשובה לשני מקומות אחרי הנקודה.
תשובה ופתרון
התשובה: 3.93 מ׳
הניצב שמול הזווית שווה ליתר כפול הסינוס של הזווית: x = 4 · sin 79° ≈ 3.93 בעיגול, התשובה היא 3.93 מ׳.
זווית משתי צלעות
לדוגמה: כדור נבעט מהקרקע, 13 מ׳ מהשער, ועובר בדיוק מעל המשקוף שבגובה 244 ס״מ, כלומר 2.44 מ׳. באיזו זווית לקרקע עולה הכדור? עגלו את התשובה למעלה שלמה.
תשובה ופתרון
התשובה: 11 °
הצלעות הידועות הן הניצב שמול הזווית והניצב שלידה, ולכן משתמשים בטנגנס: tan α = 2.44 : 13 מוצאים את הזווית במחשבון: α ≈ 11° בעיגול, הזווית היא 11 מעלות.
זווית גובה וזווית עומק
לדוגמה: מנקודה על הקרקע, 55 מ׳ מבניין, זווית הגובה לראש הבניין היא 49 מעלות. מה גובה הבניין? עגלו את התשובה לשני מקומות אחרי הנקודה.
תשובה ופתרון
התשובה: 63.27 מ׳
הגובה הוא הניצב שמול הזווית, והמרחק הוא הניצב שלידה, ולכן משתמשים בטנגנס: x = 55 · tan 49° ≈ 63.27 בעיגול, התשובה היא 63.27 מ׳.
שתי זוויות, שני משולשים
לדוגמה: מראש מגדל בגובה 24 מ׳ רואים שתי מכוניות, זו אחרי זו, על כביש ישר שיוצא מרגלי המגדל. זווית העומק למכונית הקרובה היא 50 מעלות, ולרחוקה 21 מעלות. מה המרחק בין שתי המכוניות? עגלו את התשובה לשני מקומות אחרי הנקודה.
תשובה ופתרון
התשובה: 42.38 מ׳
המרחק של כל מכונית מרגלי המגדל הוא הגובה חלקי הטנגנס של הזווית שלה. למכונית הרחוקה: 24 : tan 21° ≈ 62.5221 למכונית הקרובה: 24 : tan 50° ≈ 20.1384 המרחק בין המכוניות הוא ההפרש: 62.5221 − 20.1384 ≈ 42.38 בעיגול, התשובה היא 42.38 מ׳.
צורות המורכבות ממשולשים ישרי זווית
לדוגמה: אורך הצלע של מעוין הוא 16 ס״מ, ואחת מזוויותיו בת 40 מעלות. מה אורך האלכסון הארוך? עגלו את התשובה לשני מקומות אחרי הנקודה.
תשובה ופתרון
התשובה: 30.07 ס״מ
האלכסון חוצה את הזווית, ולכן בכל משולש הזווית היא 20 מעלות. חצי האלכסון הארוך הוא הניצב שליד הזווית הזו: 16 · cos 20° ≈ 15.0351 האלכסון הוא פי שניים: 2 · 15.0351 ≈ 30.07 בעיגול, התשובה היא 30.07 ס״מ.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: ערכי סינוס וקוסינוס של זוויות מיוחדות · משפט הסינוסים והקוסינוסים · הסבר מדוע היחס לא תלוי בגודל המשולש.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).