סטיית התקן בהקשר חברתי וכלכלי לכיתה י״א · 3 יח״ל
בנושא סטיית התקן בהקשר חברתי וכלכלי בכיתה י״א · 3 יח״ל לומדים איזו קבוצה מפוזרת יותר, סטיית תקן של רשימה, סטיית תקן מטבלה ומדיאגרמה, מרכז ופיזור של שתי קבוצות ומה קורה לסטיית התקן. שתי קבוצות של נתונים יכולות להיות בעלות אותו ממוצע, ובכל זאת להיראות אחרת לגמרי. בקבוצה אחת הנתונים קרובים זה לזה, ובקבוצה האחרת הם מפוזרים. פיזור גדול מראה שהקבוצה מגוונת, ופיזור קטן מראה שהיא אחידה.
סטיית התקן מודדת את הפיזור סביב הממוצע. מחשבים את הממוצע, את המרחק של כל נתון ממנו, ואת הריבוע של כל מרחק. מחשבים את הממוצע של הריבועים, וסטיית התקן היא השורש שלו. מחלקים במספר כל הנתונים, וסטיית התקן נמדדת באותן יחידות של הנתונים. בטבלת שכיחויות, בדיאגרמת עמודות או בדיאגרמת עוגה כל ערך נספר כמה פעמים שהוא מופיע: כופלים את ריבוע המרחק שלו בשכיחות שלו. גיליון אלקטרוני או מחשבון מחשבים את סטיית התקן מהר, אבל כדאי לדעת מה הם מחשבים. כשמוסיפים אותו מספר לכל הנתונים, סטיית התקן לא משתנה. כשכופלים את כל הנתונים במספר, היא מוכפלת בו. נתון שווה לממוצע שמוסיפים לקבוצה מקטין את סטיית התקן. ממוצע גבוה לא אומר שסטיית התקן גבוהה: מתארים קבוצה גם לפי המרכז וגם לפי הפיזור.
טיפ: לפני שמחשבים, מסתכלים על הנתונים: אם הם רחוקים מהממוצע, סטיית התקן גדולה.
מה לומדים בנושא
איזו קבוצה מפוזרת יותר
לדוגמה: אלה הציונים של כמה תלמידים במבחן, בשתי קבוצות. קבוצה א׳: 79, 79, 79, 79 ו־64. קבוצה ב׳: 58, 82, 94, 76 ו־70. באיזו קבוצה הנתונים מפוזרים יותר?
- קבוצה א׳
- קבוצה ב׳
תשובה ופתרון
התשובה: קבוצה ב׳
בשתי הקבוצות הממוצע הוא 76. בקבוצה ב׳ הנתונים רחוקים יותר מהממוצע. סטיית התקן בקבוצה א׳ היא 6, ובקבוצה ב׳ היא 12. לכן הנתונים בקבוצה ב׳ מפוזרים יותר.
סטיית תקן של רשימה
לדוגמה: אלה הציונים של כמה תלמידים במבחן: 80, 80, 82, 88, 76 ו־86. מהי סטיית התקן של כל הנתונים?
תשובה ופתרון
התשובה: 4
הממוצע: 492 : 6 = 82 ריבועי המרחקים מהממוצע הם 4, 4, 0, 36, 36 ו־16, והממוצע שלהם: 96 : 6 = 16 סטיית התקן היא השורש של המספר הזה: √16 = 4
סטיית תקן מטבלה ומדיאגרמה
לדוגמה: בטבלה מספר הספרים שקרא כל תלמיד בכיתה בחודש אחד.
| מספר הספרים | שכיחות |
|---|---|
| 0 | 9 |
| 3 | 4 |
| 5 | 6 |
| 6 | 5 |
תשובה ופתרון
התשובה: 3
יש 24 נתונים, ולכן החציון הוא הממוצע של הנתונים במקומות 12 ו־13 לפי הסדר: (3 + 3) : 2 = 3
מרכז ופיזור של שתי קבוצות
לדוגמה: אלה הציונים של כמה תלמידים במבחן, בשתי קבוצות. קבוצה א׳: 75, 87, 84, 78, 69 ו־75. קבוצה ב׳: 71, 50, 59, 77, 71 ו־62. הממוצע בקבוצה א׳ הוא 78, ובקבוצה ב׳ הוא 65. באיזו קבוצה סטיית התקן גדולה יותר?
- קבוצה א׳
- קבוצה ב׳
תשובה ופתרון
התשובה: קבוצה ב׳
בקבוצה א׳, ריבועי המרחקים מהממוצע הם 9, 81, 36, 0, 81 ו־9, והממוצע שלהם: 216 : 6 = 36 סטיית התקן היא השורש של המספר הזה: √36 = 6 בקבוצה ב׳, ריבועי המרחקים מהממוצע הם 36, 225, 36, 144, 36 ו־9, והממוצע שלהם: 486 : 6 = 81 סטיית התקן היא השורש של המספר הזה: √81 = 9 לכן סטיית התקן בקבוצה ב׳ גדולה יותר.
מה קורה לסטיית התקן
לדוגמה: אלה חשבונות החשמל החודשיים של כמה משפחות, בשקלים: 460, 460, 480 ו־400. מוסיפים עוד נתון אחד, והממוצע לא משתנה. איזה נתון הוסיפו?
תשובה ופתרון
התשובה: 450
הממוצע: 1800 : 4 = 450 הנתון שנוסף שווה לממוצע, כלומר 450.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: חישוב סטיית תקן בגיליון אלקטרוני · הסבר במילים מדוע סטיית התקן לא השתנתה.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).