דמיון משולשים בהקשר אורייני לכיתה י״א · 3 יח״ל

בנושא דמיון משולשים בהקשר אורייני בכיתה י״א · 3 יח״ל לומדים מקדם ההגדלה, האם המשולשים דומים, צלעות במשולשים דומים, היקפים ושטחים של דומים ומדידה עקיפה. צורות דומות הן צורות שאחת מהן היא הגדלה או הקטנה של השנייה: תמונה והדפסה שלה, ציור והעתק שלו, מפרש גדול ומפרש קטן. בצורות דומות כל האורכים גדלים פי אותו מספר, שנקרא מקדם ההגדלה, והזוויות לא משתנות. מקדם גדול מאחד מגדיל, ומקדם קטן מאחד מקטין. הוספת אותו אורך לכל הצלעות אינה נותנת צורה דומה.

כדי לבדוק אם שני משולשים דומים מספיק למצוא שתי זוויות שוות בשניהם, כי גם הזווית השלישית שווה. אפשר גם לסדר את הצלעות בכל משולש מהקצרה לארוכה ולבדוק שכל המנות של צלעות מתאימות שוות. כשכותבים שהמשולשים דומים, הקדקודים מתאימים בסדר שבו הם כתובים. צלע חסרה מוצאים מהמקדם: מחלקים שתי צלעות מתאימות שידועות, וכופלים בו. במשולש ישר זווית אפשר אחר כך למצוא את הצלע השלישית לפי משפט פיתגורס. ההיקף גדל פי המקדם, אבל השטח גדל פי ריבוע המקדם: כשהצלעות גדלות פי שלושה, השטח גדל פי תשעה. דמיון עוזר למדוד אורכים שקשה להגיע אליהם. באותה שעה, מוט ועץ מטילים צל, והמשולשים שהם יוצרים עם הצל דומים. גם מראה על הקרקע, מצלמה ורוחב של נהר נותנים שני משולשים דומים: באחד כל האורכים ידועים, ובשני מוצאים את האורך המבוקש. כותבים את כל האורכים באותה יחידה לפני החישוב.

טיפ: במשולשים דומים, כל צלע חלקי הצלע המתאימה לה נותנת את אותו מקדם.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

מקדם ההגדלה

לדוגמה: תמונה במידות 10 ס״מ על 15 ס״מ הוגדלה, ועכשיו מידותיה 40 ס״מ על 60 ס״מ. מהו מקדם ההגדלה?

תשובה ופתרון

התשובה: 4

מחלקים אורך חדש באורך המתאים המקורי: 40 : 10 = 4 גם השנייה נותנת אותו מקדם: 60 : 15 = 4

האם המשולשים דומים

לדוגמה: במשולש ABC : ∢A = 115°, ∢B = 35° . במשולש DEF : ∢D = 115°, ∢E = 35° . האם המשולשים דומים?

תשובה ופתרון

התשובה: כן

משלימים את הזווית השלישית בכל משולש: ∢C = 180° − 115° − 35° = 30° ∢F = 180° − 115° − 35° = 30° . לשני המשולשים אותן זוויות, ולכן הם דומים. התשובה: כן.

צלעות במשולשים דומים

לדוגמה: המשולשים דומים: ΔABC ∼ ΔDEF . האורכים בס״מ. במשולש הראשון: AB = 6, BC = 10, AC = 7 . במשולש השני: DF = 28 . מה אורך הצלע EF ?

תשובה ופתרון

התשובה: 40 ס״מ

הצלע DF מתאימה לצלע AC , ולכן יחס הדמיון הוא 28 : 7 = 4 . הצלע המבוקשת מתאימה לצלע BC : EF = 10 · 4 = 40 . אורך הצלע הוא 40 ס״מ.

היקפים ושטחים של דומים

לדוגמה: לשני עפיפונים צורה של משולשים דומים. היקף העפיפון הגדול 114 ס״מ. היחס בין צלע של העפיפון הקטן לצלע המתאימה של הגדול הוא 2 : 3 . מה היקף העפיפון הקטן?

תשובה ופתרון

התשובה: 76 ס״מ

ההיקף הקטן הוא ההיקף הגדול כפול היחס: 114 · 2 : 3 = 76 ההיקף הוא 76 ס״מ.

מדידה עקיפה

לדוגמה: באותה שעה, מוט אנכי בגובה 2 מ׳ מטיל צל באורך 6 מ׳, ועץ מטיל צל באורך 24 מ׳. 26?24 מה גובה העץ?

תשובה ופתרון

התשובה: 8 מ׳

הצל של העץ ארוך פי: 24 : 6 = 4 ובאותו מקדם גבוה העץ מהמוט: 2 · 4 = 8 גובה העץ 8 מ׳.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הסבר מדוע משולשים בציור דומים · אחוז השגיאה של אומדן.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←