יחס, פרופורציה וקנה מידה לכיתה י״א · 3 יח״ל
בנושא יחס, פרופורציה וקנה מידה בכיתה י״א · 3 יח״ל לומדים יחס ומשמעותו, פרופורציה וקצב, חלוקה לפי יחס, קנה מידה ושטחים בקנה מידה. יחס משווה בין שתי כמויות מאותו סוג. לפני שכותבים יחס, כותבים את שתי הכמויות באותה יחידה: היחס בין 250 גרם סוכר לקילוגרם קמח הוא היחס בין 250 ל־1,000, ובצורה מצומצמת אחד לארבעה. מצמצמים יחס כמו שמצמצמים שבר, ומחלקים את שני האיברים באותו מספר.
פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים. כשאחד האיברים חסר, מסמנים אותו בנעלם וכופלים בהצלבה: מכפלת האיברים החיצוניים שווה למכפלת האיברים הפנימיים. קצב, כמו קילומטרים לליטר או תושבים לקמ״ר, משווה בין כמויות מסוגים שונים, וכופלים או מחלקים בו. כדי לחלק שלם לפי יחס, מחברים את האיברים של היחס ומקבלים את מספר החלקים השווים. מחלקים את השלם במספר החלקים, וכופלים בכל איבר. כך מוצאים גם את הצלעות של מלבן מהיחס ביניהן ומההיקף או מהשטח. קנה מידה הוא יחס בין אורך בשרטוט או במפה לאורך המתאים במציאות, והאיבר הראשון שלו הוא אחד. בקנה מידה של אחד למאה, כל סנטימטר בשרטוט הוא מאה סנטימטרים במציאות. מהשרטוט למציאות כופלים, ומהמציאות לשרטוט מחלקים, אחרי שכותבים את האורכים באותה יחידה. בקנה מידה של אחד למאה כל אורך גדל פי מאה, אבל שטח גדל פי מאה כפול מאה, כלומר פי עשרת אלפים. לכן קודם מוצאים את האורכים במציאות, ורק אחר כך כופלים אותם כדי לקבל את השטח.
טיפ: לפני כל חישוב, כותבים את הכמויות באותה יחידה.
מה לומדים בנושא
יחס ומשמעותו
לדוגמה: במתכון יש 750 גרם סוכר ו־1 ק״ג קמח. מה היחס בין כמות הסוכר לכמות הקמח? יש לכתוב את היחס בצורה מצומצמת.
תשובה ופתרון
התשובה: 3 : 4
כותבים את הכמות השנייה באותה יחידה, 1,000 גרם. היחס הוא: 750 : 1,000 מצמצמים, ומחלקים את שני האיברים ב־250: 750 : 1,000 = 3 : 4
פרופורציה וקצב
לדוגמה: לפי מתכון, 10 ביצים מספיקות ל־14 עוגיות. כמה ביצים צריך ל־21 עוגיות?
תשובה ופתרון
התשובה: 15
הפרופורציה, כשהנעלם הוא הכמות המבוקשת: 10 : 14 = x : 21 כופלים בהצלבה: 14 · x = 10 · 21 x = 210 : 14 = 15
חלוקה לפי יחס
לדוגמה: סכום של 2,990 ₪ מחולק בין שלושה שותפים לפי היחס 2 : 4 : 7 . כמה כסף מקבל השותף הראשון?
תשובה ופתרון
התשובה: 460 ₪
מספר החלקים השווים: 2 + 4 + 7 = 13 גודל חלק אחד: 2,990 : 13 = 230 לשותף הראשון יש 2 חלקים: 2 · 230 = 460 כלומר 460 ₪.
קנה מידה
לדוגמה: בשרטוט של קיר, קנה המידה הוא 1 : 25 . אורך הקיר בשרטוט 20 ס״מ. מה אורך הקיר בפועל, במטרים?
תשובה ופתרון
התשובה: 5 מ׳
כל סנטימטר הוא בפועל 25 ס״מ: 20 · 25 = 500 כלומר 500 ס״מ, שהם 5 מ׳.
שטחים בקנה מידה
לדוגמה: תכנית של דירה משורטטת בקנה מידה 1 : 50 . בתכנית הדירה היא מלבן שצלעותיו 12 ס״מ ו־4 ס״מ. מה אורך הצלע הארוכה של הדירה בפועל, במטרים?
תשובה ופתרון
התשובה: 6 מ׳
כל סנטימטר בתכנית הוא בפועל 50 ס״מ, ולכן: 12 · 50 = 600 כלומר 600 ס״מ, שהם 6 מ׳.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: אומדן אורכים ומרחקים · דוגמאות מחיי היום־יום ליחסים.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).