# תהליכים מעריכיים: גדילה ודעיכה לכיתה י״א · 3 יח״ל

> תהליכים מעריכיים: גדילה ודעיכה לכיתה י״א · 3 יח״ל: זיהוי תהליך מעריכי, צעד אחר צעד, בלי נוסחה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא תהליכים מעריכיים: גדילה ודעיכה בכיתה י״א · 3 יח״ל לומדים זיהוי תהליך מעריכי, צעד אחר צעד, בלי נוסחה, אחוזים ומקדם הגדילה, חישוב לפי הנוסחה, קצב השינוי משני ערכים, כמה יחידות זמן, השוואת תהליכים וקריאה מגרף.

בתהליך קווי הכמות משתנה בכל יחידת זמן באותו מספר. בתהליך מעריכי היא משתנה בכל יחידת זמן פי אותו מספר, או באותו מספר של אחוזים. בתהליך של גדילה הכמות הולכת וגדלה, ובתהליך של דעיכה היא הולכת וקטנה.

המספר שבו כופלים בכל יחידת זמן נקרא מקדם הגדילה. גדילה של 5 אחוזים היא כפל ב־1.05, ודעיכה של 10 אחוזים היא כפל ב־0.9. כדי לחזור מהמקדם לאחוזים מחסירים ממנו 1 וכופלים במאה.

הכמות אחרי כמה יחידות זמן היא הכמות בהתחלה כפול המקדם בחזקת מספר היחידות. בקיצור, הכמות שווה לכמות בהתחלה כפול המקדם בחזקת מספר יחידות הזמן. כדי למצוא כמות שהייתה לפני כמה יחידות זמן, מחלקים במקדם פעם אחת לכל יחידת זמן.

כדי לגלות אחרי כמה יחידות זמן מגיעים לכמות מסוימת, מחשבים צעד אחר צעד עד שמגיעים אליה או עוברים אותה. מגרף של תהליך מעריכי קוראים את הכמות בהתחלה, ואת המקדם מקבלים כשמחלקים ערך בערך שלפניו. כשמשווים שני תהליכים, מחשבים את שניהם אחרי אותו מספר של יחידות זמן.

**טיפ:** לפני שמחשבים, הופכים את האחוזים למקדם: גדילה מוסיפה ל־1, ודעיכה מורידה מ־1.

## מה לומדים בנושא

### זיהוי תהליך מעריכי

- דוגמה: היום מספר הדגים באגם הוא 2,000. בכל שנה הוא גדל ב־90. איזה תהליך זה?
- אפשרויות: תהליך מעריכי · תהליך קווי
- תשובה: תהליך קווי
- פתרון: בכל שנה הכמות משתנה באותו מספר, ולכן זה תהליך קווי.

### צעד אחר צעד, בלי נוסחה

- דוגמה: היום מספר התושבים בעיירה הוא 60. בכל שנה הוא גדל פי 2. מה יהיה מספר התושבים בעיירה בעוד 3 שנים?
- תשובה: 480
- פתרון: כופלים ב־2 3 פעמים: 60 · 2 = 120 120 · 2 = 240 240 · 2 = 480 בעוד 3 שנים מספר התושבים בעיירה יהיה 480.

### אחוזים ומקדם הגדילה

- דוגמה: בכל שנה החוב על הלוואה גדל ב־5 אחוזים. באיזה מספר מוכפל החוב על הלוואה בכל שנה?
- תשובה: 1.05
- פתרון: בשבר עשרוני, 5 אחוזים הם 0.05, ולכן המספר הוא 1 + 0.05 = 1.05 .

### חישוב לפי הנוסחה

- דוגמה: בכל שנה מספר הדגים באגם גדל ב־10 אחוזים. היום מספר הדגים באגם הוא 7,000. מה יהיה מספר הדגים באגם בעוד 3 שנים?
- תשובה: 9317
- פתרון: המקדם הוא 1.1, ומחשבים: 7,000 · 1.1^3 = 9,317 לכן בעוד 3 שנים מספר הדגים באגם יהיה 9,317.

### קצב השינוי משני ערכים

- דוגמה: בהתחלה החוב על הלוואה היה 1,875 ₪, ואחרי שנתיים הוא היה 2,028 ₪. בכל שנה הוא גדל באותו מספר של אחוזים. בכמה אחוזים גדל החוב על הלוואה בכל שנה?
- תשובה: 4%
- פתרון: מחלקים: 2,028 : 1,875 = 1.0816 מנסים מקדם: 1.04^2 = 1.0816 המקדם הוא 1.04, ולכן בכל שנה החוב על הלוואה גדל ב־4 אחוזים.

### כמה יחידות זמן

- דוגמה: בכל שנה מספר התושבים בעיירה גדל פי 2. בהתחלה מספר התושבים בעיירה הוא 5. אחרי כמה שנים מספר התושבים בעיירה יהיה 160?
- תשובה: 5
- פתרון: הכמויות בזו אחר זו: 5, 10, 20, 40, 80, 160. הכמות 160 מתקבלת אחרי 5 שנים, כלומר 5 שנים.

### השוואת תהליכים

- דוגמה: היום הסכום בתוכנית א׳ הוא 2,400 ₪, ובכל שנה הוא גדל ב־5 אחוזים. היום הסכום בתוכנית ב׳ הוא 4,500 ₪, ובכל שנה הוא גדל ב־2 אחוזים. באיזה מהם הכמות תהיה גדולה יותר בעוד 4 שנים?
- אפשרויות: תוכנית א׳ · תוכנית ב׳
- תשובה: תוכנית ב׳
- פתרון: מחשבים את שתי הכמויות: 2,400 · 1.05^4 ≈ 2,917.22 4,500 · 1.02^4 ≈ 4,870.94 לכן בעוד 4 שנים הסכום בתוכנית ב׳ יהיה גדול יותר.

### קריאה מגרף

- דוגמה: בגרף מופיע מספר הדגים באגם בכל שנה. (גרף של מספר הדגים באגם לאורך שלוש שנים. הנקודות מסומנות בערכים 64, 32, 16 ו־8.) מה היה מספר הדגים באגם בהתחלה?
- תשובה: 64
- פתרון: בהתחלה הזמן הוא 0, ושם הערך הוא 64.

## עוד לא באתר

- פתרון משוואה מעריכית בדרך אלגברית
- הסבר במילים מדוע תהליך הוא מעריכי

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י״א · 3 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-11-3u/)