הסתברות של מאורעות תלויים ובלתי תלויים לכיתה י״א · 3 יח״ל

בנושא הסתברות של מאורעות תלויים ובלתי תלויים בכיתה י״א · 3 יח״ל לומדים תלוי או בלתי תלוי, חיתוך מאורעות בלתי תלויים, שני מאורעות תלויים, לפחות ולכל היותר ומה כדאי לבחור. שני מאורעות בלתי תלויים כשהתוצאה של אחד מהם אינה משנה את הסיכוי של השני: גשם בימים שמזג האוויר בהם אינו תלוי זה בזה, או שני כדורים מתוך שקית כשהכדור הראשון מוחזר. כשהכדור הראשון אינו מוחזר, בשקית נשאר כדור אחד פחות, והסיכוי בהוצאה השנייה תלוי בראשונה: המאורעות תלויים.

כשהמאורעות בלתי תלויים, ההסתברות שכולם יקרו היא מכפלת ההסתברויות, גם כשיש שלושה מאורעות. ההסתברות שמאורע לא יקרה היא אחד פחות ההסתברות שיקרה, ולכן אפשר לחשב גם מצב שבו חלק מהמאורעות קורים וחלק לא. בשני מאורעות תלויים בונים עץ של שני שלבים. בשלב השני משתמשים במה שנשאר אחרי השלב הראשון, כופלים לאורך כל מסלול, ומחברים את המסלולים שמתאימים למאורע. את המאורע ״לפחות אחד״ נוח לחשב דרך המאורע המשלים: אחד פחות ההסתברות שאף מאורע לא יקרה. את המאורע ״לכל היותר שניים״ מתוך שלושה מחשבים כאחד פחות ההסתברות שכל השלושה יקרו. כשצריך לבחור בין אפשרויות, מחשבים את הסיכוי בכל אחת ומשווים.

טיפ: לפני שמחשבים, שואלים: האם התוצאה הראשונה משנה את מה שיכול לקרות אחריה?

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

תלוי או בלתי תלוי

לדוגמה: בשקית 3 כדורים ירוקים ו־6 כדורים לבנים. מוציאים כדור, רושמים את צבעו, והכדור מוחזר לשקית. אחר כך מוציאים כדור שני. האם המאורעות ״הכדור הראשון ירוק״ ו״הכדור השני ירוק״ תלויים או בלתי תלויים?

תשובה ופתרון

התשובה: בלתי תלויים

הכדור הראשון חוזר לשקית, ולכן בשלב השני יש שוב 9 כדורים, ומהם 3 ירוקים, בלי קשר לתוצאה של ההוצאה הראשונה. לכן המאורעות בלתי תלויים.

חיתוך מאורעות בלתי תלויים

לדוגמה: בשקית 10 כדורים, ומהם 3 כדורים כחולים. מוציאים כדור, רושמים את צבעו, והכדור מוחזר לשקית. אחר כך מוציאים כדור שני. מה ההסתברות ששני הכדורים יהיו כחולים? כותבים את התשובה כשבר מצומצם.

תשובה ופתרון

התשובה: 9/100

הכדור מוחזר, ולכן בכל הוצאה ההסתברות לכדור כחול היא 3/10, וההוצאות בלתי תלויות. כופלים: 3/10 · 3/10 = 9/100

שני מאורעות תלויים

לדוגמה: בכרטיס גירוד 6 משבצות, ובתוך 2 מהן מוסתר פרס. מגרדים משבצת אחת, ואחריה משבצת שנייה. מה ההסתברות שבשתי המשבצות יופיע פרס? כותבים את התשובה כשבר מצומצם.

תשובה ופתרון

התשובה: 1/15

בשלב הראשון ההסתברות היא 2/6. אחריו נשארו 5, ורק אחד מהם מתאים, ולכן בשלב השני ההסתברות היא 1/5. כופלים: 2/6 · 1/5 = 2/30 = 1/15

לפחות ולכל היותר

לדוגמה: גלגל מחולק ל־10 חלקים שווים, ו־2 מהם אדומים. מסובבים את הגלגל פעמיים. מה ההסתברות שהגלגל ייעצר על אדום לפחות פעם אחת? כותבים את התשובה כשבר מצומצם.

תשובה ופתרון

התשובה: 9/25

המאורע המשלים: הגלגל לא נעצר על אדום אף פעם. בכל סיבוב ההסתברות לזה היא 8/10, והסיבובים בלתי תלויים. לכן: 8/10 · 8/10 = 64/100 ההסתברות שהגלגל ייעצר על אדום לפחות פעם אחת היא אחד פחות ההסתברות הזו: 1 − 64/100 = 36/100 = 9/25

מה כדאי לבחור

לדוגמה: בבית קפה אחד כל קונה מקבל כרטיס גירוד עם 6 משבצות, ובתוך 4 מהן מוסתרת תמונה של עוגה. מגרדים משבצת אחת ואחריה משבצת שנייה, וזוכים אם בשתיהן מופיעה עוגה. בבית קפה שני כל קונה מקבל כרטיס גירוד עם 7 משבצות, ובתוך 3 מהן מוסתרת תמונה של עוגה. מגרדים משבצת אחת ואחריה משבצת שנייה, וזוכים אם בשתיהן מופיעה עוגה. באיזה בית קפה הסיכוי לזכות גדול יותר?

תשובה ופתרון

התשובה: בבית הקפה הראשון

בבית הקפה הראשון: 4/6 · 3/5 = 12/30 = 2/5 בבית הקפה השני: 3/7 · 2/6 = 6/42 = 1/7 משווים את הסיכויים: 2/5 > 1/7 לכן הסיכוי גדול יותר בבית הקפה הראשון.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: תרגום סיטואציה לעץ או לרשימה בעצמכם · הגדרה פורמלית של אי־תלות.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 3 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←