פונקציות טריגונומטריות לכיתה י׳ · 5 יח״ל

בנושא פונקציות טריגונומטריות בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים מספר ממשי על מעגל היחידה, סינוס וקוסינוס כשיעורי נקודה, זהויות ממעגל היחידה, ערכים מיוחדים, הגרפים של סינוס וקוסינוס, הטנגנס, מתי יש פתרון, משוואות טריגונומטריות ותופעה מחזורית. על מעגל היחידה, שהמרכז שלו בראשית והרדיוס שלו אחד, לכל מספר ממשי יש נקודה. מתחילים בנקודה שבה איקס שווה אחת והולכים לאורך המעגל מרחק השווה למספר: נגד כיוון השעון כשהמספר חיובי, ועם כיוון השעון כשהוא שלילי. היקף המעגל הוא שתיים פאי, ולכן סיבוב שלם הוא שתיים פאי, חצי סיבוב הוא פאי ורבע סיבוב הוא פאי חלקי שתיים. מספרים שההפרש ביניהם הוא סיבובים שלמים מגיעים לאותה נקודה.

הקוסינוס של מספר הוא שיעור האיקס של הנקודה שלו, והסינוס הוא שיעור הוואי שלה. לכן שניהם תמיד בין מינוס אחת לאחת, ושניהם חוזרים על עצמם אחרי שתיים פאי. הטנגנס הוא הסינוס חלקי הקוסינוס, והוא אינו מוגדר היכן שהקוסינוס הוא אפס. מהמעגל רואים גם זהויות: הסינוס של המספר הנגדי הוא מינוס הסינוס, ולכל מספר הסינוס בריבוע ועוד הקוסינוס בריבוע שווה אחת, לפי משפט פיתגורס. כדי לפתור משוואה כמו סינוס איקס שווה חצי, מוצאים מספר אחד שהוא פתרון, פאי חלקי שש, ואז את המספר השני על המעגל עם אותו שיעור וואי, חמש פאי חלקי שש. הפתרון הכללי מוסיף לכל אחד מהם כפולה שלמה של שתיים פאי. גלגל ענק, הגאות והשפל וגם אורך היום במשך השנה חוזרים על עצמם, ולכן מתארים אותם בעזרת סינוס. הוכחה לדוגמה של הזהות: הנקודה של מספר על מעגל היחידה היא הנקודה ששיעור האיקס שלה הוא הקוסינוס ושיעור הוואי שלה הוא הסינוס. מורידים ממנה אנך לציר האופקי. נוצר משולש ישר זווית שאורכי הניצבים שלו הם גודל הקוסינוס וגודל הסינוס, והיתר שלו הוא הרדיוס, אחת. לפי משפט פיתגורס, הסינוס בריבוע ועוד הקוסינוס בריבוע שווה אחת. ריבוע אינו תלוי בסימן, ולכן הזהות נכונה בכל רביע, ועל הצירים בודקים אותה ישירות.

טיפ: שרטטו את מעגל היחידה וסמנו עליו את הנקודה: הסימן של הסינוס ושל הקוסינוס נראה מיד לפי הרביע.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

מספר ממשי על מעגל היחידה

לדוגמה: איזו נקודה על מעגל היחידה מתאימה למספר π/2 ?

תשובה ופתרון

התשובה: (0, 1)

המספר π/2 הוא רבע סיבוב נגד כיוון השעון, ולכן מגיעים לנקודה (0, 1) .

סינוס וקוסינוס כשיעורי נקודה

לדוגמה: מהו sin(2π) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 0

המספר 2π מגיע לנקודה (1, 0) . הסינוס הוא שיעור הוואי שלה: sin(2π) = 0 .

זהויות ממעגל היחידה

לדוגמה: נתון: sin x = −0.8 . מהו sin(−x) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 0.8

הנקודה של −x היא השיקוף של הנקודה של x בציר האיקס, ולכן שיעור הוואי מחליף סימן: sin(−x) = −sin x = 0.8 .

ערכים מיוחדים

לדוגמה: מהו sin(π/6) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 1/2

הנקודה של π/6 על מעגל היחידה היא (√3/2, 1/2) , והסינוס הוא שיעור הוואי שלה: sin(π/6) = 1/2 .

הגרפים של סינוס וקוסינוס

לדוגמה: מהו הערך הגדול ביותר של הפונקציה f(x) = −3 sin x ?

תשובה ופתרון

התשובה: 3

הסינוס נע בין −1 לבין 1 , ולכן −3 sin x נע בין −3 לבין 3 . הערך הגדול ביותר הוא 3 .

הטנגנס

לדוגמה: מהו tan(0) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 0

מחלקים את הסינוס בקוסינוס: tan(0) = sin(0) / cos(0) = 0 / 1 = 0 .

מתי יש פתרון

לדוגמה: האם יש פתרון למשוואה sin x = 0.9 ?

תשובה ופתרון

התשובה: כן

הסינוס תמיד בין −1 לבין 1 . המספר 0.9 בתחום הזה, ולכן יש פתרון.

משוואות טריגונומטריות

לדוגמה: פתרו את המשוואה sin x = √3/2 בתחום 0 ≤ x ≤ π/2 .

תשובה ופתרון

התשובה: π/3

ברביע הראשון יש מספר אחד כזה, כי שם sin(π/3) = √3/2 . הפתרון הוא x = π/3 .

תופעה מחזורית

לדוגמה: הגובה של תא בגלגל ענק, במטרים, אחרי t דקות הוא h(t) = 14 + 10 sin(πt / 12) . מהו הגובה הגדול ביותר של התא?

תשובה ופתרון

התשובה: 24 מטר

הערך הגדול ביותר של הסינוס הוא 1 , ולכן h = 14 + 10 · 1 = 24 מטר.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת הזהויות · פונקציות מחזוריות כלליות.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←