פונקציות רציונליות לכיתה י׳ · 5 יח״ל

בנושא פונקציות רציונליות בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים תחום ההגדרה ונקודה חסרה, אסימפטוטות, הנגזרת של אחת חלקי פונקציה, נגזרת של מנה, חקירה של פונקציה רציונלית, משיק לגרף של פונקציה רציונלית וקריאת גרפים. פונקציה רציונלית היא שבר שבמונה ובמכנה שלו יש פולינומים. היא אינה מוגדרת היכן שהמכנה מתאפס. כשגם המונה מתאפס שם, מצמצמים את הגורם המשותף ובודקים את השבר המצומצם: אם המכנה שלו כבר אינו מתאפס שם, בגרף יש נקודה חסרה, ואם הוא עדיין מתאפס, יש שם אסימפטוטה אנכית. כשרק המכנה מתאפס, יש שם אסימפטוטה אנכית: לידה הפונקציה גדלה או קטנה ללא גבול.

רחוק מהראשית החזקות הגבוהות קובעות. כשהמונה והמכנה מאותה מעלה, הפונקציה שואפת ליחס בין המקדמים של החזקות הגבוהות, וזו האסימפטוטה האופקית. כשהמעלה של המונה גדולה יותר, הערכים גדלים ללא גבול בערכם המוחלט ואין אסימפטוטה אופקית. הנגזרת של אחת חלקי איקס היא מינוס אחת חלקי איקס בריבוע. לשבר כללי משתמשים בכלל המנה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, והכול חלקי המכנה בריבוע. בעזרת הנגזרת מוצאים משיקים, תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון. נקודה שאינה בתחום ההגדרה מפרידה בין שני תחומים.

טיפ: לפני שגוזרים, כתבו את תחום ההגדרה: הנקודות שבהן המכנה מתאפס לעולם אינן חלק מהתשובה.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

תחום ההגדרה ונקודה חסרה

לדוגמה: איזה ערך של x אינו בתחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = −7 / (x − 6) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 6

המכנה x − 6 מתאפס כאשר x = 6 .

אסימפטוטות

לדוגמה: מצאו את האסימפטוטה האנכית של הגרף של הפונקציה f(x) = −5 / (x − 6) − 5 .

תשובה ופתרון

התשובה: 6

המכנה x − 6 מתאפס כאשר x = 6 , והמונה אינו אפס. זו האסימפטוטה האנכית.

הנגזרת של אחת חלקי פונקציה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −5 / x . מצאו את f′(4) .

תשובה ופתרון

התשובה: 5/16

לפי הנגזרת של אחת חלקי איקס, f′(x) = 5 / x² . מציבים: f′(4) = 5 / 4² = 5/16 .

נגזרת של מנה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (3x + 3) / (x − 2) . מצאו את f′(0) .

תשובה ופתרון

התשובה: −9/4

לפי כלל המנה: f′(x) = (3(x − 2) − (3x + 3)) / (x − 2)² = −9 / (x − 2)² . מציבים: x = 0 : f′(0) = −9 / (−2)² = −9/4 .

חקירה של פונקציה רציונלית

לדוגמה: מה הסימן של הפונקציה f(x) = (x + 5) / (x − 6) בתחום x < −5 ?

תשובה ופתרון

התשובה: חיובית

בתחום אין שורש ואין נקודה שבה המכנה מתאפס. בודקים נקודה אחת בו, x = −7 : f(−7) = (−7 + 5) / (−7 − 6) = 2/13 . הערך חיובי, ולכן הפונקציה חיובית בכל התחום.

משיק לגרף של פונקציה רציונלית

לדוגמה: מהו השיפוע של המשיק לגרף של הפונקציה f(x) = −12 / x בנקודה שבה x = −2 ?

תשובה ופתרון

התשובה: 3

קודם f′(x) = 12 / x² . מציבים: f′(−2) = 12 / (−2)² = 3 .

קריאת גרפים

לדוגמה: איזה גרף הוא הגרף של הפונקציה f(x) = 1 / (x − 3) − 2 ? גרף א:

גרף ב: גרף ג:

תשובה ופתרון

התשובה: גרף ב

האסימפטוטות הן x = 3 וגם y = −2 . המונה חיובי, ולכן מימין לאסימפטוטה האנכית הגרף מעל האסימפטוטה האופקית. זה גרף ב.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שרטוט סקיצה של הגרף · טכניקות אלגבריות מורכבות.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←