# פונקציות רציונליות לכיתה י׳ · 5 יח״ל

> פונקציות רציונליות לכיתה י׳ · 5 יח״ל: תחום ההגדרה ונקודה חסרה, אסימפטוטות, הנגזרת של אחת חלקי פונקציה ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא פונקציות רציונליות בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים תחום ההגדרה ונקודה חסרה, אסימפטוטות, הנגזרת של אחת חלקי פונקציה, נגזרת של מנה, חקירה של פונקציה רציונלית, משיק לגרף של פונקציה רציונלית וקריאת גרפים.

פונקציה רציונלית היא שבר שבמונה ובמכנה שלו יש פולינומים. היא אינה מוגדרת היכן שהמכנה מתאפס. כשגם המונה מתאפס שם, מצמצמים את הגורם המשותף ובודקים את השבר המצומצם: אם המכנה שלו כבר אינו מתאפס שם, בגרף יש נקודה חסרה, ואם הוא עדיין מתאפס, יש שם אסימפטוטה אנכית. כשרק המכנה מתאפס, יש שם אסימפטוטה אנכית: לידה הפונקציה גדלה או קטנה ללא גבול.

רחוק מהראשית החזקות הגבוהות קובעות. כשהמונה והמכנה מאותה מעלה, הפונקציה שואפת ליחס בין המקדמים של החזקות הגבוהות, וזו האסימפטוטה האופקית. כשהמעלה של המונה גדולה יותר, הערכים גדלים ללא גבול בערכם המוחלט ואין אסימפטוטה אופקית.

הנגזרת של אחת חלקי איקס היא מינוס אחת חלקי איקס בריבוע. לשבר כללי משתמשים בכלל המנה: נגזרת המונה כפול המכנה, פחות המונה כפול נגזרת המכנה, והכול חלקי המכנה בריבוע. בעזרת הנגזרת מוצאים משיקים, תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון. נקודה שאינה בתחום ההגדרה מפרידה בין שני תחומים.

**טיפ:** לפני שגוזרים, כתבו את תחום ההגדרה: הנקודות שבהן המכנה מתאפס לעולם אינן חלק מהתשובה.

## מה לומדים בנושא

### תחום ההגדרה ונקודה חסרה

- דוגמה: איזה ערך של x אינו בתחום ההגדרה של הפונקציה f(x) = −7 / (x − 6) ?
- תשובה: 6
- פתרון: המכנה x − 6 מתאפס כאשר x = 6 .

### אסימפטוטות

- דוגמה: מצאו את האסימפטוטה האנכית של הגרף של הפונקציה f(x) = −5 / (x − 6) − 5 .
- תשובה: 6
- פתרון: המכנה x − 6 מתאפס כאשר x = 6 , והמונה אינו אפס. זו האסימפטוטה האנכית.

### הנגזרת של אחת חלקי פונקציה

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = −5 / x . מצאו את f′(4) .
- תשובה: 5/16
- פתרון: לפי הנגזרת של אחת חלקי איקס, f′(x) = 5 / x² . מציבים: f′(4) = 5 / 4² = 5/16 .

### נגזרת של מנה

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = (3x + 3) / (x − 2) . מצאו את f′(0) .
- תשובה: −9/4
- פתרון: לפי כלל המנה: f′(x) = (3(x − 2) − (3x + 3)) / (x − 2)² = −9 / (x − 2)² . מציבים: x = 0 : f′(0) = −9 / (−2)² = −9/4 .

### חקירה של פונקציה רציונלית

- דוגמה: מה הסימן של הפונקציה f(x) = (x + 5) / (x − 6) בתחום x < −5 ?
- אפשרויות: שלילית · חיובית
- תשובה: חיובית
- פתרון: בתחום אין שורש ואין נקודה שבה המכנה מתאפס. בודקים נקודה אחת בו, x = −7 : f(−7) = (−7 + 5) / (−7 − 6) = 2/13 . הערך חיובי, ולכן הפונקציה חיובית בכל התחום.

### משיק לגרף של פונקציה רציונלית

- דוגמה: מהו השיפוע של המשיק לגרף של הפונקציה f(x) = −12 / x בנקודה שבה x = −2 ?
- תשובה: 3
- פתרון: קודם f′(x) = 12 / x² . מציבים: f′(−2) = 12 / (−2)² = 3 .

### קריאת גרפים

- דוגמה: איזה גרף הוא הגרף של הפונקציה f(x) = 1 / (x − 3) − 2 ? גרף א: (גרף א: אסימפטוטה אנכית כאשר המשתנה שווה למינוס 3, אסימפטוטה אופקית בגובה מינוס 2, ומימין לאסימפטוטה האנכית הגרף מעלאסימפטוטה האופקית.) גרף ב: (גרף ב: אסימפטוטה אנכית כאשר המשתנה שווה ל־3, אסימפטוטה אופקית בגובה מינוס 2, ומימין לאסימפטוטה האנכית הגרף מעלאסימפטוטה האופקית.) גרף ג: (גרף ג: אסימפטוטה אנכית כאשר המשתנה שווה ל־3, אסימפטוטה אופקית בגובה מינוס 2, ומימין לאסימפטוטה האנכית הגרף מתחת לאסימפטוטה האופקית.)
- אפשרויות: גרף א · גרף ג · גרף ב
- תשובה: גרף ב
- פתרון: האסימפטוטות הן x = 3 וגם y = −2 . המונה חיובי, ולכן מימין לאסימפטוטה האנכית הגרף מעל האסימפטוטה האופקית. זה גרף ב.

## עוד לא באתר

- שרטוט סקיצה של הגרף
- טכניקות אלגבריות מורכבות

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-5u/)