פרופורציה לכיתה י׳ · 5 יח״ל
בנושא פרופורציה בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים משפט תאלס, המשפט ההפוך למשפט תאלס, פרופורציות נגזרות, חלוקת קטע ביחס נתון, מיתרים נחתכים במעגל, משיק וחותכים מנקודה, פרופורציות במשולש ישר זווית והיקפים ושטחים של משולשים דומים. משפט תאלס: ישרים מקבילים החותכים את שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים. במשולש שבו קטע מקביל לאחת הצלעות, היחס בין שני החלקים של שוק אחת שווה ליחס בין החלקים המתאימים של השוק השנייה. גם ההפך נכון: אם הקטעים פרופורציוניים, הישרים מקבילים. מפרופורציה אפשר לגזור פרופורציות נוספות, למשל כשמוסיפים 1 לשני האגפים.
במעגל, כששני מיתרים נחתכים, מכפלת חלקי מיתר אחד שווה למכפלת חלקי המיתר השני. כשמנקודה שמחוץ למעגל יוצאים משיק וחותך, ריבוע המשיק שווה למכפלת החותך כולו בחלקו החיצוני. בשני חותכים מאותה נקודה המכפלות שוות. במשולש ישר זווית הגובה ליתר מחלק את היתר לשני היטלים. ריבוע הגובה שווה למכפלת ההיטלים, וריבוע כל ניצב שווה למכפלת היתר בהיטל של אותו ניצב. במשולשים דומים כל שני קטעים מתאימים ביחס הדמיון, ויחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. הוכחה לדוגמה של משפט תאלס במשולש, בעזרת שטחים: מעבירים קטע המקביל לבסיס וחותך את שתי הצלעות האחרות. מחברים כל קצה של הקטע עם הקודקוד שבקצה השני של הבסיס. שני המשולשים שנוצרים נשענים על הקטע, והקודקוד השלישי של כל אחד מהם נמצא על הבסיס המקביל לו, ולכן יש להם אותו גובה ואותו שטח. עכשיו משווים כל אחד מהם למשולש הקטן שלמעלה, שיש לו איתו גובה משותף: היחס בין השטחים שווה ליחס בין חלקי הצלע, החלק העליון חלקי החלק התחתון. בשני היחסים משווים את המשולש הקטן לשני משולשים שווי שטח, ולכן היחסים שווים, וחלקי שתי הצלעות פרופורציוניים.
טיפ: כתבו את הפרופורציה במילים לפני שמציבים מספרים: חלק קטן אל חלק גדול בצד אחד, ובאותו סדר בצד השני.
מה לומדים בנושא
משפט תאלס
לדוגמה: במשולש ABC הקטע DE מקביל לצלע BC . אורכי הקטעים (בס״מ): AD = 1, DB = 5, AE = 2 . מה אורך הקטע EC ?
תשובה ופתרון
התשובה: 10 ס״מ
לפי משפט תאלס AD / DB = AE / EC , כלומר 1/5 = 2 / EC . לכן EC = 5 · 2 : 1 = 10 .
המשפט ההפוך למשפט תאלס
לדוגמה: במשולש ABC הנקודה D על הצלע AB והנקודה E על הצלע AC . נתון (בס״מ): AD = 1, DB = 5, AE = 2, EC = 11 . האם DE ∥ BC ?
- כן
- לא
תשובה ופתרון
התשובה: לא
משווים את AD / DB = 1/5 עם AE / EC = 2/11 בכפל בהצלבה: 1 · 11 = 11 לעומת 5 · 2 = 10 . המכפלות שונות, ולכן הישרים אינם מקבילים. לא.
פרופורציות נגזרות
לדוגמה: נתון a / b = 2/9 . מה ערך המנה (a + b) / b ?
תשובה ופתרון
התשובה: 11/9
מוסיפים 1: (a + b) / b = a / b + 1 = 2/9 + 9/9 = 11/9 .
חלוקת קטע ביחס נתון
לדוגמה: קטע שאורכו 14 ס״מ מחולק לשני חלקים ביחס 2 : 5 . מה אורך החלק הקצר?
תשובה ופתרון
התשובה: 4 ס״מ
יש 2 + 5 = 7 חלקים, וכל חלק 14 : 7 = 2 . החלק הקצר הוא 2 · 2 = 4 .
מיתרים נחתכים במעגל
לדוגמה: המיתרים AB, CD נחתכים בנקודה P . נתון (בס״מ): AP = 2, PB = 18, CP = 3 . מה אורך הקטע PD ?
תשובה ופתרון
התשובה: 12 ס״מ
לפי המשפט 2 · 18 = 3 · PD , כלומר 36 = 3 · PD , ולכן PD = 36 : 3 = 12 .
משיק וחותכים מנקודה
לדוגמה: מהנקודה P יוצאים משיק PT למעגל, וגם ישר החותך את המעגל בנקודות A, B . נתון (בס״מ): PA = 1, PB = 9 . מה אורך המשיק PT ?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
לפי המשפט PT² = 1 · 9 = 9 , ולכן PT = √9 = 3 .
פרופורציות במשולש ישר זווית
לדוגמה: במשולש ישר הזווית ABC הזווית ∢C ישרה, והקטע CD הוא הגובה ליתר AB . נתון (בס״מ): AD = 1, DB = 9 . מה אורך הגובה CD ?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
לפי המשפט CD² = AD · DB = 1 · 9 = 9 , ולכן CD = √9 = 3 .
היקפים ושטחים של משולשים דומים
לדוגמה: המשולשים ABC, DEF דומים, והצלע AB מתאימה לצלע DE . נתון (בס״מ): AB = 5, DE = 11 . מה היחס בין היקף המשולש ABC להיקף המשולש DEF ? כתבו שבר מצומצם.
תשובה ופתרון
התשובה: 5/11
יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: 5/11 = 5/11 .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת משפט תאלס ומשפטי הפרופורציה.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).