# פרופורציה לכיתה י׳ · 5 יח״ל

> פרופורציה לכיתה י׳ · 5 יח״ל: משפט תאלס, המשפט ההפוך למשפט תאלס, פרופורציות נגזרות, חלוקת קטע ביחס נתון ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא פרופורציה בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים משפט תאלס, המשפט ההפוך למשפט תאלס, פרופורציות נגזרות, חלוקת קטע ביחס נתון, מיתרים נחתכים במעגל, משיק וחותכים מנקודה, פרופורציות במשולש ישר זווית והיקפים ושטחים של משולשים דומים.

משפט תאלס: ישרים מקבילים החותכים את שוקי זווית מקצים עליהן קטעים פרופורציוניים. במשולש שבו קטע מקביל לאחת הצלעות, היחס בין שני החלקים של שוק אחת שווה ליחס בין החלקים המתאימים של השוק השנייה. גם ההפך נכון: אם הקטעים פרופורציוניים, הישרים מקבילים. מפרופורציה אפשר לגזור פרופורציות נוספות, למשל כשמוסיפים 1 לשני האגפים.

במעגל, כששני מיתרים נחתכים, מכפלת חלקי מיתר אחד שווה למכפלת חלקי המיתר השני. כשמנקודה שמחוץ למעגל יוצאים משיק וחותך, ריבוע המשיק שווה למכפלת החותך כולו בחלקו החיצוני. בשני חותכים מאותה נקודה המכפלות שוות.

במשולש ישר זווית הגובה ליתר מחלק את היתר לשני היטלים. ריבוע הגובה שווה למכפלת ההיטלים, וריבוע כל ניצב שווה למכפלת היתר בהיטל של אותו ניצב. במשולשים דומים כל שני קטעים מתאימים ביחס הדמיון, ויחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון.

הוכחה לדוגמה של משפט תאלס במשולש, בעזרת שטחים: מעבירים קטע המקביל לבסיס וחותך את שתי הצלעות האחרות. מחברים כל קצה של הקטע עם הקודקוד שבקצה השני של הבסיס. שני המשולשים שנוצרים נשענים על הקטע, והקודקוד השלישי של כל אחד מהם נמצא על הבסיס המקביל לו, ולכן יש להם אותו גובה ואותו שטח. עכשיו משווים כל אחד מהם למשולש הקטן שלמעלה, שיש לו איתו גובה משותף: היחס בין השטחים שווה ליחס בין חלקי הצלע, החלק העליון חלקי החלק התחתון. בשני היחסים משווים את המשולש הקטן לשני משולשים שווי שטח, ולכן היחסים שווים, וחלקי שתי הצלעות פרופורציוניים.

**טיפ:** כתבו את הפרופורציה במילים לפני שמציבים מספרים: חלק קטן אל חלק גדול בצד אחד, ובאותו סדר בצד השני.

## מה לומדים בנושא

### משפט תאלס

- דוגמה: (משולש, וקטע המקביל לבסיס החותך את שתי הצלעות האחרות.) במשולש ABC הקטע DE מקביל לצלע BC . אורכי הקטעים (בס״מ): AD = 1, DB = 5, AE = 2 . מה אורך הקטע EC ?
- תשובה: 10 ס״מ
- פתרון: לפי משפט תאלס AD / DB = AE / EC , כלומר 1/5 = 2 / EC . לכן EC = 5 · 2 : 1 = 10 .

### המשפט ההפוך למשפט תאלס

- דוגמה: (משולש, וקטע החותך שתיים מצלעותיו.) במשולש ABC הנקודה D על הצלע AB והנקודה E על הצלע AC . נתון (בס״מ): AD = 1, DB = 5, AE = 2, EC = 11 . האם DE ∥ BC ?
- אפשרויות: כן · לא
- תשובה: לא
- פתרון: משווים את AD / DB = 1/5 עם AE / EC = 2/11 בכפל בהצלבה: 1 · 11 = 11 לעומת 5 · 2 = 10 . המכפלות שונות, ולכן הישרים אינם מקבילים. לא.

### פרופורציות נגזרות

- דוגמה: נתון a / b = 2/9 . מה ערך המנה (a + b) / b ?
- תשובה: 11/9
- פתרון: מוסיפים 1: (a + b) / b = a / b + 1 = 2/9 + 9/9 = 11/9 .

### חלוקת קטע ביחס נתון

- דוגמה: קטע שאורכו 14 ס״מ מחולק לשני חלקים ביחס 2 : 5 . מה אורך החלק הקצר?
- תשובה: 4 ס״מ
- פתרון: יש 2 + 5 = 7 חלקים, וכל חלק 14 : 7 = 2 . החלק הקצר הוא 2 · 2 = 4 .

### מיתרים נחתכים במעגל

- דוגמה: (מעגל ושני מיתרים הנחתכים בתוכו.) המיתרים AB, CD נחתכים בנקודה P . נתון (בס״מ): AP = 2, PB = 18, CP = 3 . מה אורך הקטע PD ?
- תשובה: 12 ס״מ
- פתרון: לפי המשפט 2 · 18 = 3 · PD , כלומר 36 = 3 · PD , ולכן PD = 36 : 3 = 12 .

### משיק וחותכים מנקודה

- דוגמה: (מעגל, ומנקודה שמחוץ לו משיק וחותך.) מהנקודה P יוצאים משיק PT למעגל, וגם ישר החותך את המעגל בנקודות A, B . נתון (בס״מ): PA = 1, PB = 9 . מה אורך המשיק PT ?
- תשובה: 3 ס״מ
- פתרון: לפי המשפט PT² = 1 · 9 = 9 , ולכן PT = √9 = 3 .

### פרופורציות במשולש ישר זווית

- דוגמה: (משולש ישר זווית והגובה ליתר.) במשולש ישר הזווית ABC הזווית ∢C ישרה, והקטע CD הוא הגובה ליתר AB . נתון (בס״מ): AD = 1, DB = 9 . מה אורך הגובה CD ?
- תשובה: 3 ס״מ
- פתרון: לפי המשפט CD² = AD · DB = 1 · 9 = 9 , ולכן CD = √9 = 3 .

### היקפים ושטחים של משולשים דומים

- דוגמה: המשולשים ABC, DEF דומים, והצלע AB מתאימה לצלע DE . נתון (בס״מ): AB = 5, DE = 11 . מה היחס בין היקף המשולש ABC להיקף המשולש DEF ? כתבו שבר מצומצם.
- תשובה: 5/11
- פתרון: יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון: 5/11 = 5/11 .

## עוד לא באתר

- הוכחת משפט תאלס ומשפטי הפרופורציה

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-5u/)