טריגונומטריה במישור לכיתה י׳ · 5 יח״ל
בנושא טריגונומטריה במישור בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים שטח משולש בעזרת סינוס, משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים, משולש אחד או שניים, זוויות עם אותו סינוס, ערך גדול ביותר בלי נגזרת ופתרון משולש בשני שלבים. שטח של כל משולש, לא רק של משולש ישר זווית, הוא חצי ממכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן. בזווית קהה משתמשים בכך שלזווית ולזווית המשלימה לה למאה ושמונים מעלות יש אותו סינוס. לכן אותו שטח יכול להתקבל משתי זוויות שונות, חדה וקהה.
משפט הסינוסים אומר שבכל משולש היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה זהה לכל שלוש הצלעות, והוא שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש. משפט הקוסינוסים מוצא צלע משתי הצלעות האחרות ומהזווית שביניהן, או זווית משלוש הצלעות. כשנתונות שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן, ייתכנו שני משולשים, אחד או אף לא אחד. כשהשאלה מבקשת תשובה מדויקת, משאירים שורשים: למשל, הסינוס של שישים מעלות הוא שורש שלוש חלקי שתיים. כשהיא מבקשת עיגול, מחשבים במחשבון ומעגלים רק בסוף. הסינוס אף פעם לא גדול מאחת, ולכן אפשר למצוא ערך גדול ביותר גם בלי נגזרת. הוכחה לדוגמה של משפט הסינוסים: כותבים את שטח המשולש בשלוש דרכים, בכל פעם בעזרת שתי צלעות והסינוס של הזווית שביניהן. שלושת הביטויים שווים. מחלקים כל אחד מהם בחצי המכפלה של שלוש הצלעות, ונשאר הסינוס של כל זווית חלקי הצלע שמולה, אותו מספר לכל שלוש הזוויות. הופכים את השברים ומקבלים את משפט הסינוסים. את משפט הקוסינוסים מוכיחים בעזרת הגובה מאחד הקודקודים: משפט פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית שהגובה יוצר, והקוסינוס לחישוב חלק הבסיס שליד הזווית.
טיפ: לפני שמחשבים, סמנו במשולש מה נתון: שתי צלעות והזווית שביניהן מובילות למשפט הקוסינוסים, וצלע עם הזווית שמולה מובילה למשפט הסינוסים.
מה לומדים בנושא
שטח משולש בעזרת סינוס
לדוגמה: במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 4, AC = 12, ∢A = 30° . מה שטח המשולש?
תשובה ופתרון
התשובה: 12 סמ״ר
הסינוס של 30° הוא 1/2 , ולכן S = 4 · 12 · 1/2 : 2 = 12 סמ״ר.
משפט הסינוסים
לדוגמה: במשולש ABC נתון: AC = 6, ∢B = 30°, ∢C = 100° . מה אורך הצלע AB בס״מ? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.
תשובה ופתרון
התשובה: 11.82 ס״מ
הצלע AB מול הזווית C , והצלע AC מול הזווית B : AB / sin 100° = 6 / sin 30° , ולכן AB = 6 · sin 100° / sin 30° ≈ 11.82 ס״מ.
משפט הקוסינוסים
לדוגמה: במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 3, AC = 8, ∢A = 60° . מה אורך הצלע BC ?
תשובה ופתרון
התשובה: 7 ס״מ
הקוסינוס של 60° הוא 1/2 , ולכן BC² = 3² + 8² − 2 · 3 · 8 · 1/2 = 9 + 64 − 24 = 49 . לכן BC = 7 ס״מ.
משולש אחד או שניים
לדוגמה: במשולש ABC נתון (בס״מ): AC = 6, BC = 3, ∢A = 70° . כמה משולשים כאלה יש?
- משולש אחד
- שני משולשים
- אין משולש כזה
תשובה ופתרון
התשובה: אין משולש כזה
לפי משפט הסינוסים sin B = AC · sin A / BC = 6 · sin 70° / 3 ≈ 1.8794 . סינוס אינו גדול מ־1, ולכן אין משולש כזה.
זוויות עם אותו סינוס
לדוגמה: נתון: sin α = sin 20° , והזווית α קהה. מהי הזווית α ?
תשובה ופתרון
התשובה: 160 °
הזווית 20° חדה, ולזווית המשלימה לה אותו סינוס: α = 180° − 20° = 160° .
ערך גדול ביותר בלי נגזרת
לדוגמה: מהו הערך הגדול ביותר של הביטוי 4 sin 2α ?
תשובה ופתרון
התשובה: 4
הסינוס אינו גדול מ־1, ולכן 4 sin 2α ≤ 4 . השוויון מתקיים כאשר 2α = 90° , כלומר כאשר α = 45° . הערך הגדול ביותר הוא 4 .
פתרון משולש בשני שלבים
לדוגמה: במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 5, AC = 12, BC = 9 . מה שטח המשולש? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.
תשובה ופתרון
התשובה: 20.4 סמ״ר
לפי משפט הקוסינוסים cos A = (5² + 12² − 9²) / (2 · 5 · 12) ≈ 0.7333 , ולכן sin A = √(1 − cos²A) ≈ 0.6799 . השטח: S = 5 · 12 · sin A : 2 ≈ 20.4 סמ״ר.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת נוסחת השטח, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים · הוכחות גאומטריות בעזרת טריגונומטריה.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).