# טריגונומטריה במישור לכיתה י׳ · 5 יח״ל

> טריגונומטריה במישור לכיתה י׳ · 5 יח״ל: שטח משולש בעזרת סינוס, משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא טריגונומטריה במישור בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים שטח משולש בעזרת סינוס, משפט הסינוסים, משפט הקוסינוסים, משולש אחד או שניים, זוויות עם אותו סינוס, ערך גדול ביותר בלי נגזרת ופתרון משולש בשני שלבים.

שטח של כל משולש, לא רק של משולש ישר זווית, הוא חצי ממכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן. בזווית קהה משתמשים בכך שלזווית ולזווית המשלימה לה למאה ושמונים מעלות יש אותו סינוס. לכן אותו שטח יכול להתקבל משתי זוויות שונות, חדה וקהה.

משפט הסינוסים אומר שבכל משולש היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה זהה לכל שלוש הצלעות, והוא שווה לקוטר המעגל החוסם את המשולש. משפט הקוסינוסים מוצא צלע משתי הצלעות האחרות ומהזווית שביניהן, או זווית משלוש הצלעות. כשנתונות שתי צלעות וזווית שאינה ביניהן, ייתכנו שני משולשים, אחד או אף לא אחד.

כשהשאלה מבקשת תשובה מדויקת, משאירים שורשים: למשל, הסינוס של שישים מעלות הוא שורש שלוש חלקי שתיים. כשהיא מבקשת עיגול, מחשבים במחשבון ומעגלים רק בסוף. הסינוס אף פעם לא גדול מאחת, ולכן אפשר למצוא ערך גדול ביותר גם בלי נגזרת.

הוכחה לדוגמה של משפט הסינוסים: כותבים את שטח המשולש בשלוש דרכים, בכל פעם בעזרת שתי צלעות והסינוס של הזווית שביניהן. שלושת הביטויים שווים. מחלקים כל אחד מהם בחצי המכפלה של שלוש הצלעות, ונשאר הסינוס של כל זווית חלקי הצלע שמולה, אותו מספר לכל שלוש הזוויות. הופכים את השברים ומקבלים את משפט הסינוסים. את משפט הקוסינוסים מוכיחים בעזרת הגובה מאחד הקודקודים: משפט פיתגורס בשני המשולשים ישרי הזווית שהגובה יוצר, והקוסינוס לחישוב חלק הבסיס שליד הזווית.

**טיפ:** לפני שמחשבים, סמנו במשולש מה נתון: שתי צלעות והזווית שביניהן מובילות למשפט הקוסינוסים, וצלע עם הזווית שמולה מובילה למשפט הסינוסים.

## מה לומדים בנושא

### שטח משולש בעזרת סינוס

- דוגמה: (משולש, ועליו הצלעות והזוויות הנתונות.) במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 4, AC = 12, ∢A = 30° . מה שטח המשולש?
- תשובה: 12 סמ״ר
- פתרון: הסינוס של 30° הוא 1/2 , ולכן S = 4 · 12 · 1/2 : 2 = 12 סמ״ר.

### משפט הסינוסים

- דוגמה: (משולש, ועליו הצלעות והזוויות הנתונות.) במשולש ABC נתון: AC = 6, ∢B = 30°, ∢C = 100° . מה אורך הצלע AB בס״מ? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.
- תשובה: 11.82 ס״מ
- פתרון: הצלע AB מול הזווית C , והצלע AC מול הזווית B : AB / sin 100° = 6 / sin 30° , ולכן AB = 6 · sin 100° / sin 30° ≈ 11.82 ס״מ.

### משפט הקוסינוסים

- דוגמה: (משולש, ועליו הצלעות והזוויות הנתונות.) במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 3, AC = 8, ∢A = 60° . מה אורך הצלע BC ?
- תשובה: 7 ס״מ
- פתרון: הקוסינוס של 60° הוא 1/2 , ולכן BC² = 3² + 8² − 2 · 3 · 8 · 1/2 = 9 + 64 − 24 = 49 . לכן BC = 7 ס״מ.

### משולש אחד או שניים

- דוגמה: במשולש ABC נתון (בס״מ): AC = 6, BC = 3, ∢A = 70° . כמה משולשים כאלה יש?
- אפשרויות: משולש אחד · שני משולשים · אין משולש כזה
- תשובה: אין משולש כזה
- פתרון: לפי משפט הסינוסים sin B = AC · sin A / BC = 6 · sin 70° / 3 ≈ 1.8794 . סינוס אינו גדול מ־1, ולכן אין משולש כזה.

### זוויות עם אותו סינוס

- דוגמה: נתון: sin α = sin 20° , והזווית α קהה. מהי הזווית α ?
- תשובה: 160 °
- פתרון: הזווית 20° חדה, ולזווית המשלימה לה אותו סינוס: α = 180° − 20° = 160° .

### ערך גדול ביותר בלי נגזרת

- דוגמה: מהו הערך הגדול ביותר של הביטוי 4 sin 2α ?
- תשובה: 4
- פתרון: הסינוס אינו גדול מ־1, ולכן 4 sin 2α ≤ 4 . השוויון מתקיים כאשר 2α = 90° , כלומר כאשר α = 45° . הערך הגדול ביותר הוא 4 .

### פתרון משולש בשני שלבים

- דוגמה: (משולש, ועליו הצלעות והזוויות הנתונות.) במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 5, AC = 12, BC = 9 . מה שטח המשולש? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.
- תשובה: 20.4 סמ״ר
- פתרון: לפי משפט הקוסינוסים cos A = (5² + 12² − 9²) / (2 · 5 · 12) ≈ 0.7333 , ולכן sin A = √(1 − cos²A) ≈ 0.6799 . השטח: S = 5 · 12 · sin A : 2 ≈ 20.4 סמ״ר.

## עוד לא באתר

- הוכחת נוסחת השטח, משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים
- הוכחות גאומטריות בעזרת טריגונומטריה

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-5u/)