מבוא לאנליזה של פונקציות לכיתה י׳ · 5 יח״ל

בנושא מבוא לאנליזה של פונקציות בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים שורשים ושורש כפול, המעלה והשורשים, פונקציות בסיסיות, ההופכי של פונקציה, הרכבת פונקציות, הפונקציה ההפוכה, שורשים וחזקות שבריות, פעולות על פונקציות, אי־שוויונים לפי תחומים וגבולות באופן אינטואיטיבי. שורש של פונקציה הוא ערך של איקס שבו הפונקציה מתאפסת. כשהפולינום כתוב כמכפלה של גורמים, כל גורם נותן שורש. גורם שמופיע בריבוע נותן שורש כפול: שם הגרף נוגע בציר ואינו חוצה אותו. לפולינום ממעלה אי־זוגית יש תמיד שורש אחד לפחות, כי בשני הקצוות שלו הסימנים הפוכים.

בהרכבה מציבים פונקציה אחת בתוך אחרת, ומחשבים מבפנים החוצה. הפונקציה ההפוכה פועלת בכיוון ההפוך: מכל ערך היא מחזירה את איקס שממנו הוא הגיע. יש לה הפוכה רק כשכל ערך מתקבל פעם אחת בלבד, ולכן לפעמים מצמצמים את התחום, כמו בפרבולה שבה לוקחים רק ערכים של איקס שאינם שליליים. כדי לפתור אי־שוויון, מוצאים את השורשים ובודקים את הסימן בנקודה אחת מכל תחום שביניהם. גבול מתאר לאן הפונקציה הולכת: מספר קבוע חלקי מספר שגדל ללא גבול מתקרב לאפס, ומספר קבוע חלקי מספר שמתקרב לאפס גדל ללא גבול בערכו המוחלט.

טיפ: לפני שבוחרים תשובה, הציבו מספר אחד ובדקו אותו: זו הדרך המהירה לגלות טעות בסימן.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

שורשים ושורש כפול

לדוגמה: כמה שורשים יש לפונקציה f(x) = −(x − 6)(x + 5) ?

תשובה ופתרון

התשובה: 2

כל גורם מתאפס בשורש אחד: x = 6 וגם x = −5 . השורשים שונים זה מזה, ולכן יש לפונקציה 2 שורשים.

המעלה והשורשים

לדוגמה: נתונה פונקציה פולינומית ממעלה 3. האם בהכרח יש לה שורש?

תשובה ופתרון

התשובה: כן, בהכרח

המעלה 3 אי־זוגית, ולכן קצות הגרף פונים לכיוונים הפוכים והגרף חוצה את הציר. לכן בהכרח יש לה שורש.

פונקציות בסיסיות

לדוגמה: האם הפונקציה f(x) = −|x| זוגית, אי־זוגית, או לא זוגית ולא אי־זוגית?

תשובה ופתרון

התשובה: זוגית

כאן |−x| = |x| , ולכן הצבה של −x נותנת שוב את אותה פונקציה. לכן הפונקציה זוגית.

ההופכי של פונקציה

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x² + 5x − 5 . מצאו את (1 / f)(0) .

תשובה ופתרון

התשובה: −1/5

קודם מוצאים את f(0) = 0² + 5 · 0 − 5 = −5 . לכן (1 / f)(0) = 1 / (−5) = −1/5 .

הרכבת פונקציות

לדוגמה: נתונות הפונקציות f(x) = 3x − 4 וגם g(x) = x² + 3x + 2 . מצאו את f(g(−2)) .

תשובה ופתרון

התשובה: −4

מבפנים: g(−2) = (−2)² + 3 · (−2) + 2 = 0 . אחר כך f(0) = 3 · 0 − 4 = −4 .

הפונקציה ההפוכה

לדוגמה: מצאו את הפונקציה ההפוכה של f(x) = 2x + 9 .

תשובה ופתרון

התשובה: 0.5x − 4.5

כותבים y = 2x + 9 ומחליפים בין המשתנים: x = 2y + 9 . מבודדים את y : y = (x − 9) / 2 . לכן f⁻¹(x) = 0.5x − 4.5 .

שורשים וחזקות שבריות

לדוגמה: חשבו: √((−12)²) .

תשובה ופתרון

התשובה: 12

קודם (−12)² = 144 , ולכן √((−12)²) = √144 = 12 . השורש אינו שלילי, ולכן התוצאה חיובית.

פעולות על פונקציות

לדוגמה: נתונות הפונקציות f(x) = −2x² + 5 וגם g(x) = 2x − 4 . מצאו את (f + g)(−2) .

תשובה ופתרון

התשובה: −11

קודם f(−2) = −2 · (−2)² + 5 = −3 וגם g(−2) = 2 · (−2) − 4 = −8 . לכן (f + g)(−2) = −3 + (−8) = −11 .

אי־שוויונים לפי תחומים

לדוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x(x + 5)(x − 6) . מה הסימן של f(3) ?

תשובה ופתרון

התשובה: שלילית

מציבים: f(3) = 3(3 + 5)(3 − 6) = −72 . התוצאה שלילית.

גבולות באופן אינטואיטיבי

לדוגמה: מה קורה לפונקציה f(x) = −5 / x² כאשר x → ∞ ?

תשובה ופתרון

התשובה: שואפת לאפס

המכנה גדל ללא גבול בערכו המוחלט, והמונה קבוע. לכן הפונקציה שואפת לאפס.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: שרטוט גרפים ביד · הוכחת קיום שורש לפולינום ממעלה אי־זוגית.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←