# מבוא לאנליזה של פונקציות לכיתה י׳ · 5 יח״ל

> מבוא לאנליזה של פונקציות לכיתה י׳ · 5 יח״ל: שורשים ושורש כפול, המעלה והשורשים, פונקציות בסיסיות ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא מבוא לאנליזה של פונקציות בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים שורשים ושורש כפול, המעלה והשורשים, פונקציות בסיסיות, ההופכי של פונקציה, הרכבת פונקציות, הפונקציה ההפוכה, שורשים וחזקות שבריות, פעולות על פונקציות, אי־שוויונים לפי תחומים וגבולות באופן אינטואיטיבי.

שורש של פונקציה הוא ערך של איקס שבו הפונקציה מתאפסת. כשהפולינום כתוב כמכפלה של גורמים, כל גורם נותן שורש. גורם שמופיע בריבוע נותן שורש כפול: שם הגרף נוגע בציר ואינו חוצה אותו. לפולינום ממעלה אי־זוגית יש תמיד שורש אחד לפחות, כי בשני הקצוות שלו הסימנים הפוכים.

בהרכבה מציבים פונקציה אחת בתוך אחרת, ומחשבים מבפנים החוצה. הפונקציה ההפוכה פועלת בכיוון ההפוך: מכל ערך היא מחזירה את איקס שממנו הוא הגיע. יש לה הפוכה רק כשכל ערך מתקבל פעם אחת בלבד, ולכן לפעמים מצמצמים את התחום, כמו בפרבולה שבה לוקחים רק ערכים של איקס שאינם שליליים.

כדי לפתור אי־שוויון, מוצאים את השורשים ובודקים את הסימן בנקודה אחת מכל תחום שביניהם. גבול מתאר לאן הפונקציה הולכת: מספר קבוע חלקי מספר שגדל ללא גבול מתקרב לאפס, ומספר קבוע חלקי מספר שמתקרב לאפס גדל ללא גבול בערכו המוחלט.

**טיפ:** לפני שבוחרים תשובה, הציבו מספר אחד ובדקו אותו: זו הדרך המהירה לגלות טעות בסימן.

## מה לומדים בנושא

### שורשים ושורש כפול

- דוגמה: כמה שורשים יש לפונקציה f(x) = −(x − 6)(x + 5) ?
- תשובה: 2
- פתרון: כל גורם מתאפס בשורש אחד: x = 6 וגם x = −5 . השורשים שונים זה מזה, ולכן יש לפונקציה 2 שורשים.

### המעלה והשורשים

- דוגמה: נתונה פונקציה פולינומית ממעלה 3. האם בהכרח יש לה שורש?
- אפשרויות: לא בהכרח · כן, בהכרח
- תשובה: כן, בהכרח
- פתרון: המעלה 3 אי־זוגית, ולכן קצות הגרף פונים לכיוונים הפוכים והגרף חוצה את הציר. לכן בהכרח יש לה שורש.

### פונקציות בסיסיות

- דוגמה: האם הפונקציה f(x) = −|x| זוגית, אי־זוגית, או לא זוגית ולא אי־זוגית?
- אפשרויות: אי־זוגית · לא זוגית ולא אי־זוגית · זוגית
- תשובה: זוגית
- פתרון: כאן |−x| = |x| , ולכן הצבה של −x נותנת שוב את אותה פונקציה. לכן הפונקציה זוגית.

### ההופכי של פונקציה

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x² + 5x − 5 . מצאו את (1 / f)(0) .
- תשובה: −1/5
- פתרון: קודם מוצאים את f(0) = 0² + 5 · 0 − 5 = −5 . לכן (1 / f)(0) = 1 / (−5) = −1/5 .

### הרכבת פונקציות

- דוגמה: נתונות הפונקציות f(x) = 3x − 4 וגם g(x) = x² + 3x + 2 . מצאו את f(g(−2)) .
- תשובה: −4
- פתרון: מבפנים: g(−2) = (−2)² + 3 · (−2) + 2 = 0 . אחר כך f(0) = 3 · 0 − 4 = −4 .

### הפונקציה ההפוכה

- דוגמה: מצאו את הפונקציה ההפוכה של f(x) = 2x + 9 .
- תשובה: 0.5x − 4.5
- פתרון: כותבים y = 2x + 9 ומחליפים בין המשתנים: x = 2y + 9 . מבודדים את y : y = (x − 9) / 2 . לכן f⁻¹(x) = 0.5x − 4.5 .

### שורשים וחזקות שבריות

- דוגמה: חשבו: √((−12)²) .
- תשובה: 12
- פתרון: קודם (−12)² = 144 , ולכן √((−12)²) = √144 = 12 . השורש אינו שלילי, ולכן התוצאה חיובית.

### פעולות על פונקציות

- דוגמה: נתונות הפונקציות f(x) = −2x² + 5 וגם g(x) = 2x − 4 . מצאו את (f + g)(−2) .
- תשובה: −11
- פתרון: קודם f(−2) = −2 · (−2)² + 5 = −3 וגם g(−2) = 2 · (−2) − 4 = −8 . לכן (f + g)(−2) = −3 + (−8) = −11 .

### אי־שוויונים לפי תחומים

- דוגמה: נתונה הפונקציה f(x) = x(x + 5)(x − 6) . מה הסימן של f(3) ?
- אפשרויות: חיובית · שלילית
- תשובה: שלילית
- פתרון: מציבים: f(3) = 3(3 + 5)(3 − 6) = −72 . התוצאה שלילית.

### גבולות באופן אינטואיטיבי

- דוגמה: מה קורה לפונקציה f(x) = −5 / x² כאשר x → ∞ ?
- אפשרויות: גדלה ללא גבול · קטנה ללא גבול · שואפת למספר אחת שואפת למספר 1 · שואפת לאפס
- תשובה: שואפת לאפס
- פתרון: המכנה גדל ללא גבול בערכו המוחלט, והמונה קבוע. לכן הפונקציה שואפת לאפס.

## עוד לא באתר

- שרטוט גרפים ביד
- הוכחת קיום שורש לפולינום ממעלה אי־זוגית

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-5u/)