משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך לכיתה י׳ · 5 יח״ל
בנושא משפט החפיפה הרביעי ומשפט פיתגורס ההפוך בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים משפט החפיפה הרביעי, שני משולשים מאותם נתונים, המשפט ההפוך למשפט פיתגורס והמעגל החוסם משולש ישר זווית. משפט החפיפה הרביעי: אם בשני משולשים שתי צלעות שוות בהתאמה, והזוויות שמול הגדולה מבין שתי הצלעות שוות, המשולשים חופפים. כשהזוויות השוות נמצאות מול הצלע הקטנה, אי אפשר להסיק שהמשולשים חופפים. ייתכנו שני משולשים שונים, ואז הזוויות שמול הצלעות הגדולות משלימות זו את זו ל־180°. דוגמה פשוטה: קטע מקודקוד הראש של משולש שווה שוקיים לנקודה על הבסיס שאינה אמצעו מחלק אותו לשני משולשים כאלה, שאינם חופפים.
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס: משולש שבו סכום הריבועים של שתי צלעות שווה לריבוע הצלע השלישית הוא ישר זווית, והזווית הישרה נמצאת מול הצלע השלישית. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר, ולכן אמצע היתר הוא מרכז המעגל החוסם. גם ההפך נכון: אם התיכון לצלע שווה לחצי הצלע, הזווית שמולה ישרה. הוכחה לדוגמה של משפט החפיפה הרביעי: מניחים את המשולש השני על הראשון כך שהצלעות הקטנות השוות מתלכדות, וגם הזוויות השוות שבקצה שלהן. הצלע השלישית של המשולש השני יוצאת אז על אותה קרן, וקצה הצלע הגדולה שלו נופל על הקרן, במרחק מהקודקוד המשותף השווה לצלע הגדולה של המשולש הראשון. אם הוא לא נופל על הקודקוד של המשולש הראשון, נוצר משולש שווה שוקיים שזוויות הבסיס שלו חדות. הזווית הצמודה לאחת מהן קהה, ומול זווית קהה נמצאת הצלע הגדולה ביותר במשולש. כך יוצא שהצלע הקטנה גדולה מהצלע הגדולה, וזה בלתי אפשרי. לכן הקודקודים מתלכדים, והמשולשים חופפים.
טיפ: סמנו את הגדולה מבין שתי הצלעות השוות, ובדקו אם הזווית השווה נמצאת מולה.
מה לומדים בנושא
משפט החפיפה הרביעי
לדוגמה: במשולשים ΔABC, ΔDEF נתון: AB = DE = 9, AC = DF = 7, ∢C = ∢F . האם המשולשים חופפים, ולפי איזה משפט?
- אי אפשר לדעת
- לפי משפט החפיפה הרביעי
- לפי ז.צ.ז
- לפי צ.ז.צ
תשובה ופתרון
התשובה: לפי משפט החפיפה הרביעי
הזווית ∢C נמצאת מול הצלע AB , הגדולה מבין שתי הצלעות הנתונות: 9 > 7 . לכן המשולשים חופפים לפי משפט החפיפה הרביעי.
שני משולשים מאותם נתונים
לדוגמה: במשולשים ΔABC, ΔDEF נתון: AB = DE, AC = DF, AB > AC, ∢B = ∢E = 20° . המשולשים אינם חופפים, וגם ∢C = 135° . מה גודל הזווית ∢F ?
תשובה ופתרון
התשובה: 45 °
הזוויות השוות ∢B, ∢E נמצאות מול הצלעות הקטנות AC, DF . המשולשים אינם חופפים, ולכן הזוויות שמול הצלעות הגדולות משלימות זו את זו ל־180°: ∢F = 180° − 135° = 45° .
המשפט ההפוך למשפט פיתגורס
לדוגמה: אורכי הצלעות של משולש הם 5, 8, 10 . האם המשולש ישר זווית?
- כן
- לא
תשובה ופתרון
התשובה: לא
בודקים את שתי הצלעות הקטנות מול הגדולה: 5² + 8² = 25 + 64 = 89 , וגם 10² = 100 . המספרים שונים, ולכן המשולש אינו ישר זווית. לא.
המעגל החוסם משולש ישר זווית
לדוגמה: במשולש ישר זווית אורך היתר 8 ס״מ. מה הרדיוס של המעגל החוסם את המשולש?
תשובה ופתרון
התשובה: 4 ס״מ
הרדיוס הוא חצי היתר: R = 8 : 2 = 4 . הרדיוס 4 ס״מ.
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת משפט החפיפה הרביעי · הוכחות בעזרת חפיפה.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).