המעגל: זוויות, מיתרים ומשיקים לכיתה י׳ · 5 יח״ל
בנושא המעגל: זוויות, מיתרים ומשיקים בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים זווית מרכזית וזווית היקפית, זווית היקפית הנשענת על קוטר, מיתרים והמרחק מהמרכז, מרובע חסום במעגל, משיק למעגל, מרובע שחוסם מעגל והזווית בין משיק למיתר. זווית מרכזית היא זווית שקודקודה במרכז המעגל. זווית היקפית היא זווית שקודקודה על המעגל ושוקיה מיתרים. זווית היקפית שווה לחצי הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, וזוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות זו לזו. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה. במרובע החסום במעגל כל שתי זוויות נגדיות יחד הן 180°, וגם ההפך נכון.
האנך ממרכז המעגל למיתר חוצה את המיתר. חצי המיתר, המרחק מהמרכז והרדיוס יוצרים משולש ישר זווית, ולכן אפשר למצוא כל אחד מהם בעזרת משפט פיתגורס. מיתרים שווים רחוקים מהמרכז במידה שווה, ומיתר ארוך יותר קרוב יותר למרכז. משיק למעגל נוגע בו בנקודה אחת, והוא מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה. שני משיקים למעגל מאותה נקודה שווים זה לזה. לכן במרובע שחוסם מעגל סכומי הצלעות הנגדיות שווים. הזווית בין משיק למיתר היוצא מנקודת ההשקה שווה לזווית ההיקפית הנשענת על הקשת שבתוכה. הוכחה לדוגמה לכך שזווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת, כשהמרכז נמצא על אחת משוקי הזווית ההיקפית: מחברים את המרכז עם קצה השוק השנייה. שני הרדיוסים יוצרים משולש שווה שוקיים, ולכן זוויות הבסיס שלו שוות. הזווית המרכזית היא זווית חיצונית למשולש הזה, ולכן היא שווה לסכום שתי זוויות הבסיס, כלומר לפעמיים הזווית ההיקפית. כשהמרכז נמצא בתוך הזווית או מחוצה לה, מעבירים קוטר דרך הקודקוד ומחברים או מחסירים שתי זוויות מהסוג הזה.
טיפ: סמנו את מרכז המעגל ואת הרדיוסים: רדיוסים שווים יוצרים משולשים שווי שוקיים, ורדיוס לנקודת השקה יוצר זווית ישרה.
מה לומדים בנושא
זווית מרכזית וזווית היקפית
לדוגמה: במעגל שמרכזו O נתון ∢AOB = 54° . הנקודה C על הקשת הגדולה. מה גודל הזווית ∢ACB ?
תשובה ופתרון
התשובה: 27 °
שתי הזוויות נשענות על הקשת AB , ולכן ההיקפית היא חצי המרכזית: ∢ACB = 54° : 2 = 27° .
זווית היקפית הנשענת על קוטר
לדוגמה: הקטע AB הוא קוטר במעגל, והנקודה C על המעגל. נתון ∢CAB = 26° . מה גודל הזווית ∢CBA ?
תשובה ופתרון
התשובה: 64 °
הזווית ∢ACB נשענת על הקוטר, ולכן ∢ACB = 90° . סכום הזוויות במשולש 180°, ולכן ∢CBA = 180° − 90° − 26° = 64° .
מיתרים והמרחק מהמרכז
לדוגמה: רדיוס המעגל 5 ס״מ, והמיתר AB רחוק 4 ס״מ מהמרכז O . מה אורך המיתר?
תשובה ופתרון
התשובה: 6 ס״מ
במשולש OMA לפי משפט פיתגורס AM = √(5² − 4²) = √9 = 3 . המיתר כפול מזה: AB = 2 · 3 = 6 .
מרובע חסום במעגל
לדוגמה: המרובע ABCD חסום במעגל, ונתון ∢A = 60° . מה גודל הזווית ∢C ?
תשובה ופתרון
התשובה: 120 °
הזווית ∢C נגדית לזווית ∢A : ∢C = 180° − 60° = 120° .
משיק למעגל
לדוגמה: רדיוס המעגל 4 ס״מ, והנקודה P רחוקה 5 ס״מ ממרכז המעגל O . מה אורך המשיק PA ?
תשובה ופתרון
התשובה: 3 ס״מ
הזווית ∢OAP ישרה. לפי משפט פיתגורס PA = √(5² − 4²) = √9 = 3 .
מרובע שחוסם מעגל
לדוגמה: במרובע ABCD חסום מעגל. נתון (בס״מ): AB = 12, BC = 12, CD = 8 . מה אורך הצלע DA ?
תשובה ופתרון
התשובה: 8 ס״מ
סכומי הצלעות הנגדיות שווים, AB + CD = BC + DA , ולכן DA = 12 + 8 − 12 = 8 .
הזווית בין משיק למיתר
לדוגמה: הישר AE משיק למעגל שמרכזו O בנקודה A , והקטע AB מיתר. הנקודה C על הקשת הגדולה, ונתון ∢ACB = 27° . מה גודל הזווית ∢BAE ?
תשובה ופתרון
התשובה: 27 °
הזווית ∢BAE והזווית ההיקפית ∢ACB נשענות על אותה קשת AB , ולכן הן שוות: ∢BAE = 27° .
עוד לא באתר
חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת משפטי המעגל · בניות בסרגל ובמחוגה.
התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).