משוואת המעגל לכיתה י׳ · 5 יח״ל

בנושא משוואת המעגל בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים המעגל שמרכזו בראשית הצירים, מרכז ורדיוס מתוך המשוואה, כתיבת משוואת המעגל, נקודה ומעגל, מעגל וישר וריבוע החסום במעגל. מעגל הוא כל הנקודות שרחוקות מרחק קבוע, הרדיוס, מנקודה אחת, המרכז. לפי נוסחת המרחק, נקודה נמצאת על המעגל כשסכום ריבועי ההפרשים בין שיעוריה לשיעורי המרכז שווה לרדיוס בריבוע. כשהמרכז בראשית הצירים, המשוואה היא איקס בריבוע ועוד וואי בריבוע שווה לרדיוס בריבוע.

כשהמרכז בנקודה אחרת, בתוך כל סוגריים מופיע מינוס לפני שיעור המרכז, ולכן כשבסוגריים מופיע פלוס, שיעור המרכז שלילי. האגף הימני הוא הרדיוס בריבוע: כדי למצוא את הרדיוס, מוציאים שורש. כשמציבים נקודה באגף השמאלי, מקבלים את ריבוע המרחק שלה מהמרכז, וכך יודעים אם היא על המעגל, בתוכו או מחוצה לו. נקודות החיתוך של מעגל וישר מקיימות את שתי המשוואות. מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל, ומקבלים משוואה ריבועית אחת. לכל פתרון שלה מוצאים מהישר את השיעור השני.

טיפ: לפני שמציבים, כתבו את המרכז ואת הרדיוס בריבוע: בזהירות עם הסימנים שבתוך הסוגריים.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

המעגל שמרכזו בראשית הצירים

לדוגמה: נתון המעגל x² + y² = 4 . מה רדיוס המעגל?

תשובה ופתרון

התשובה: 2

כאן r² = 4 , ולכן r = √4 = 2 .

מרכז ורדיוס מתוך המשוואה

לדוגמה: מה מרכז המעגל (x + 5)² + (y − 6)² = 1 ?

תשובה ופתרון

התשובה: (−5, 6)

משווים לצורה (x − a)² + (y − b)² = r² : x + 5 = x − (−5) פירושו a = −5 , וגם y − 6 פירושו b = 6 . המרכז הוא M(−5, 6) .

כתיבת משוואת המעגל

לדוגמה: מה משוואת המעגל שמרכזו M(−5, 6) ורדיוסו 2?

תשובה ופתרון

התשובה: פותחים סוגריים איקס ועוד חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי פחות שש סוגרים סוגריים בריבוע שווה ארבע

מציבים a = −5, b = 6, r = 2 בצורה (x − a)² + (y − b)² = r² , ומקבלים (x + 5)² + (y − 6)² = 4 .

נקודה ומעגל

לדוגמה: נתון המעגל x² + y² = 61 . האם הנקודה P(−5, 6) נמצאת על המעגל, בתוכו או מחוצה לו?

תשובה ופתרון

התשובה: על המעגל

מציבים את שיעורי הנקודה באגף השמאלי: (−5)² + 6² = 25 + 36 = 61 . התוצאה שווה לאגף הימני, ולכן הנקודה על המעגל.

מעגל וישר

לדוגמה:

באילו נקודות הישר x = 4 חותך את המעגל x² + y² = 25 ?

תשובה ופתרון

התשובה: פותחים סוגריים ארבע, מינוס שלוש סוגרים סוגריים, פותחים סוגריים ארבע, שלוש סוגרים סוגריים

מציבים x = 4 במשוואת המעגל: 4² + y² = 25 , כלומר y² = 9 , ולכן y = 3 או y = −3 . נקודות החיתוך הן (4, −3), (4, 3) .

ריבוע החסום במעגל

לדוגמה:

הריבוע ABCD חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים, ואחד מקודקודיו הוא A(−3, 4) . מה רדיוס המעגל?

תשובה ופתרון

התשובה: 5

הקודקוד על המעגל, ולכן הרדיוס הוא המרחק שלו מהראשית: r = √((−3)² + 4²) = √25 = 5 .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: המשוואה הכללית של מעגל (אינה בתוכנית) · משיק למעגל בגאומטריה אנליטית.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←