# משוואת המעגל לכיתה י׳ · 5 יח״ל

> משוואת המעגל לכיתה י׳ · 5 יח״ל: המעגל שמרכזו בראשית הצירים, מרכז ורדיוס מתוך המשוואה, נקודה ומעגל ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא משוואת המעגל בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים המעגל שמרכזו בראשית הצירים, מרכז ורדיוס מתוך המשוואה, כתיבת משוואת המעגל, נקודה ומעגל, מעגל וישר וריבוע החסום במעגל.

מעגל הוא כל הנקודות שרחוקות מרחק קבוע, הרדיוס, מנקודה אחת, המרכז. לפי נוסחת המרחק, נקודה נמצאת על המעגל כשסכום ריבועי ההפרשים בין שיעוריה לשיעורי המרכז שווה לרדיוס בריבוע. כשהמרכז בראשית הצירים, המשוואה היא איקס בריבוע ועוד וואי בריבוע שווה לרדיוס בריבוע.

כשהמרכז בנקודה אחרת, בתוך כל סוגריים מופיע מינוס לפני שיעור המרכז, ולכן כשבסוגריים מופיע פלוס, שיעור המרכז שלילי. האגף הימני הוא הרדיוס בריבוע: כדי למצוא את הרדיוס, מוציאים שורש. כשמציבים נקודה באגף השמאלי, מקבלים את ריבוע המרחק שלה מהמרכז, וכך יודעים אם היא על המעגל, בתוכו או מחוצה לו.

נקודות החיתוך של מעגל וישר מקיימות את שתי המשוואות. מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל, ומקבלים משוואה ריבועית אחת. לכל פתרון שלה מוצאים מהישר את השיעור השני.

**טיפ:** לפני שמציבים, כתבו את המרכז ואת הרדיוס בריבוע: בזהירות עם הסימנים שבתוך הסוגריים.

## מה לומדים בנושא

### המעגל שמרכזו בראשית הצירים

- דוגמה: נתון המעגל x² + y² = 4 . מה רדיוס המעגל?
- תשובה: 2
- פתרון: כאן r² = 4 , ולכן r = √4 = 2 .

### מרכז ורדיוס מתוך המשוואה

- דוגמה: מה מרכז המעגל (x + 5)² + (y − 6)² = 1 ?
- תשובה: (−5, 6)
- פתרון: משווים לצורה (x − a)² + (y − b)² = r² : x + 5 = x − (−5) פירושו a = −5 , וגם y − 6 פירושו b = 6 . המרכז הוא M(−5, 6) .

### כתיבת משוואת המעגל

- דוגמה: מה משוואת המעגל שמרכזו M(−5, 6) ורדיוסו 2?
- אפשרויות: פותחים סוגריים איקס פחות חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי ועוד שש סוגרים סוגריים בריבוע שווה ארבע (x − 5)² + (y + 6)² = 4 · פותחים סוגריים איקס פחות חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי פחות שש סוגרים סוגריים בריבוע שווה ארבע (x − 5)² + (y − 6)² = 4 · פותחים סוגריים איקס ועוד חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי פחות שש סוגרים סוגריים בריבוע שווה שתיים (x + 5)² + (y − 6)² = 2 · פותחים סוגריים איקס ועוד חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי פחות שש סוגרים סוגריים בריבוע שווה ארבע (x + 5)² + (y − 6)² = 4
- תשובה: פותחים סוגריים איקס ועוד חמש סוגרים סוגריים בריבוע ועוד פותחים סוגריים וואי פחות שש סוגרים סוגריים בריבוע שווה ארבע
- פתרון: מציבים a = −5, b = 6, r = 2 בצורה (x − a)² + (y − b)² = r² , ומקבלים (x + 5)² + (y − 6)² = 4 .

### נקודה ומעגל

- דוגמה: נתון המעגל x² + y² = 61 . האם הנקודה P(−5, 6) נמצאת על המעגל, בתוכו או מחוצה לו?
- אפשרויות: מחוץ למעגל · בתוך המעגל · על המעגל
- תשובה: על המעגל
- פתרון: מציבים את שיעורי הנקודה באגף השמאלי: (−5)² + 6² = 25 + 36 = 61 . התוצאה שווה לאגף הימני, ולכן הנקודה על המעגל.

### מעגל וישר

- דוגמה: (מעגל וישר החותך אותו בשתי נקודות.) באילו נקודות הישר x = 4 חותך את המעגל x² + y² = 25 ?
- אפשרויות: פותחים סוגריים מינוס ארבע, מינוס שלוש סוגרים סוגריים, פותחים סוגריים מינוס ארבע, שלוש סוגרים סוגריים (−4, −3), (−4, 3) · פותחים סוגריים ארבע, מינוס שלוש סוגרים סוגריים, פותחים סוגריים ארבע, שלוש סוגרים סוגריים (4, −3), (4, 3) · פותחים סוגריים מינוס ארבע, מינוס שלוש סוגרים סוגריים, פותחים סוגריים ארבע, שלוש סוגרים סוגריים (−4, −3), (4, 3) · פותחים סוגריים מינוס שלוש, ארבע סוגרים סוגריים, פותחים סוגריים שלוש, ארבע סוגרים סוגריים (−3, 4), (3, 4)
- תשובה: פותחים סוגריים ארבע, מינוס שלוש סוגרים סוגריים, פותחים סוגריים ארבע, שלוש סוגרים סוגריים
- פתרון: מציבים x = 4 במשוואת המעגל: 4² + y² = 25 , כלומר y² = 9 , ולכן y = 3 או y = −3 . נקודות החיתוך הן (4, −3), (4, 3) .

### ריבוע החסום במעגל

- דוגמה: (מעגל שמרכזו בראשית הצירים, ועליו קודקוד של ריבוע.) הריבוע ABCD חסום במעגל שמרכזו בראשית הצירים, ואחד מקודקודיו הוא A(−3, 4) . מה רדיוס המעגל?
- תשובה: 5
- פתרון: הקודקוד על המעגל, ולכן הרדיוס הוא המרחק שלו מהראשית: r = √((−3)² + 4²) = √25 = 5 .

## עוד לא באתר

- המשוואה הכללית של מעגל (אינה בתוכנית)
- משיק למעגל בגאומטריה אנליטית

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 5 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-5u/)