הפונקציה הקדומה לכיתה י׳ · 5 יח״ל

בנושא הפונקציה הקדומה בכיתה י׳ · 5 יח״ל לומדים מציאת פונקציה קדומה, הרבה פונקציות קדומות, פונקציה קדומה שעוברת בנקודה והגרף של הפונקציה והגרף של הקדומה. פונקציה קדומה של פונקציה היא פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה הנתונה. כדי למצוא אותה הופכים את כללי הגזירה: בכל איבר מעלים את החזקה באחת ומחלקים בחזקה החדשה, ומספר לבדו הופך למספר כפול איקס. למשל, פונקציה קדומה של שתיים איקס היא איקס בריבוע.

לפונקציה יש הרבה פונקציות קדומות. הנגזרת של קבוע היא אפס, ולכן אפשר להוסיף לפונקציה קדומה כל קבוע. כל שתי פונקציות קדומות של אותה פונקציה נבדלות בקבוע, כי הנגזרת של ההפרש ביניהן היא אפס. נקודה אחת על הגרף קובעת את הקבוע. היכן שהפונקציה הנתונה חיובית, הפונקציה הקדומה עולה, והיכן שהיא שלילית, הקדומה יורדת. למה הכללים נכונים? הנגזרת של סכום היא סכום הנגזרות, כי השיפוע הממוצע של סכום הוא סכום השיפועים הממוצעים, וכך גם בגבול. הנגזרת של מספר כפול חזקה של איקס היא המספר כפול החזקה, כפול איקס בחזקה הקטנה באחת. שני הכללים עולים מהגדרת הנגזרת כגבול. מציאת פונקציה קדומה הופכת את הגזירה: כשגוזרים את מה שמצאנו, חוזרים אל הפונקציה הנתונה. הוכחה לדוגמה, מהגדרת הנגזרת, שהנגזרת של איקס בריבוע היא שתיים איקס: השיפוע הממוצע בין איקס לבין איקס ועוד אייץ׳ הוא ההפרש בין הריבועים חלקי אייץ׳. ההפרש הזה שווה לשתיים איקס כפול אייץ׳ ועוד אייץ׳ בריבוע, ולכן השיפוע הממוצע הוא שתיים איקס ועוד אייץ׳. כשאייץ׳ שואף לאפס, השיפוע הממוצע שואף לשתיים איקס. לכן איקס בריבוע היא פונקציה קדומה של שתיים איקס.

טיפ: בסוף גזרו את מה שמצאתם: אם יוצאת הפונקציה הנתונה, התשובה נכונה.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

מציאת פונקציה קדומה

לדוגמה: מצאו פונקציה קדומה של הפונקציה f(x) = 8x .

תשובה ופתרון

התשובה: 4x²

בכל איבר מעלים את החזקה באחת ומחלקים בחזקה החדשה: F(x) = 4x² . בדיקה: F′(x) = 8x . כל קבוע שמוסיפים נותן עוד פונקציה קדומה.

הרבה פונקציות קדומות

לדוגמה: הפונקציה F(x) = −3x² היא פונקציה קדומה של f(x) = −6x . איזו מהפונקציות הבאות היא גם פונקציה קדומה שלה?

תשובה ופתרון

התשובה: מינוס שלוש איקס בריבוע ועוד תשע

גוזרים כל אפשרות. הנגזרת של −3x² + 9 היא −6x , כי הנגזרת של קבוע היא אפס. לכן התשובה היא −3x² + 9 .

פונקציה קדומה שעוברת בנקודה

לדוגמה: נתון F′(x) = 6x וגם F(1) = −4 . מצאו את F(3) .

תשובה ופתרון

התשובה: 20

כל הפונקציות הקדומות: F(x) = 3x² + C . מציבים: 3 · 1² + C = −4 , ולכן C = −7 . עכשיו F(3) = 3 · 3² − 7 = 20 .

הגרף של הפונקציה והגרף של הקדומה

לדוגמה: הפונקציה F היא פונקציה קדומה של f(x) = (x + 4)(x − 4) . מה עושה הפונקציה F בתחום −4 < x < 4 ?

תשובה ופתרון

התשובה: יורדת

הנגזרת של F היא f . בתחום אין שורש, ולכן מספיק לבדוק נקודה אחת: f(−3) = −7 . הערך שלילי, ולכן הפונקציה הקדומה יורדת בכל התחום.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: האינטגרל המסוים והשטח (כיתה י״א) · הוכחת כללי הגזירה.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 5 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←