טריגונומטריה במשולש ישר זווית לכיתה י׳ · 4 יח״ל

בנושא טריגונומטריה במשולש ישר זווית בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים סינוס, קוסינוס וטנגנס, חישוב צלע, חישוב זווית, זוויות מיוחדות, קשרים בין הפונקציות, שיפוע וזווית, שטח משולש בעזרת סינוס, משולשים בתוך צורות וערכי הפונקציות. במשולש ישר זווית, לכל זווית חדה יש ניצב מולה, ניצב לידה ויתר. הסינוס של הזווית הוא היחס בין הניצב שמולה לבין היתר, הקוסינוס הוא היחס בין הניצב שלידה לבין היתר, והטנגנס הוא היחס בין הניצב שמולה לבין הניצב שלידה. היחסים תלויים רק בזווית, לא בגודל המשולש, כי כל המשולשים ישרי הזווית עם אותה זווית חדה דומים.

כשיודעים צלע וזווית, בוחרים את היחס שמקשר ביניהם לבין הצלע שמחפשים, ופותרים. כשיודעים שתי צלעות, מחשבים את היחס ומוצאים את הזווית במחשבון. בכל שאלה כתוב לאיזה דיוק לעגל. הסינוס של זווית שווה לקוסינוס של הזווית המשלימה לתשעים מעלות, וסכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית הוא אחת. לשלוש זוויות יש ערכים מדויקים: שלושים, ארבעים וחמש ושישים מעלות. הטנגנס של הזווית שישר יוצר עם ציר האיקס הוא השיפוע שלו. שטח משולש הוא חצי ממכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

טיפ: סמנו את הזווית, ואז כתבו ליד כל צלע אם היא מול הזווית, ליד הזווית או היתר. אחר כך בוחרים את היחס.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

סינוס, קוסינוס וטנגנס

לדוגמה: ABC241830 במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון (בס״מ): AC = 24, BC = 18, AB = 30 . מצאו את sin B כשבר מצומצם.

תשובה ופתרון

התשובה: 4/5

מול הזווית B נמצא הניצב AC , לידה נמצא הניצב BC , והיתר הוא AB . לכן sin B = AC : AB = 24/30 = 4/5 .

חישוב צלע

לדוגמה: ABC20? במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון (בס״מ): ∢B = 25°, AB = 20 . מה אורך הצלע AC ? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

תשובה ופתרון

התשובה: 8.45 ס״מ

sin 25° = AC : 20 , ולכן AC = 20 · sin 25° ≈ 8.45 . האורך בערך 8.45 ס״מ.

חישוב זווית

לדוגמה: ABC315 במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון (בס״מ): AC = 3, BC = 15 . מצאו את ∢B בדיוק של מעלה שלמה.

תשובה ופתרון

התשובה: 11 °

לזווית B נתונים שני הניצבים, ולכן: tan B = AC : BC = 3/15 . במחשבון: ∢B ≈ 11° .

זוויות מיוחדות

לדוגמה: מה הערך המדויק של sin 60° ?

תשובה ופתרון

התשובה: √3/2

הערכים המדויקים: sin 30° = cos 60° = 1/2 , sin 45° = cos 45° = √2/2 , sin 60° = cos 30° = √3/2 , tan 30° = √3/3 , tan 45° = 1 , tan 60° = √3 . לכן sin 60° = √3/2 .

קשרים בין הפונקציות

לדוגמה: הזווית α חדה, ונתון sin α = 0.6 . מצאו את tan α כשבר מצומצם.

תשובה ופתרון

התשובה: 3/4

cos α = √(1 − 0.6²) = √(1 − 0.36) = √0.64 = 0.8 . לכן tan α = 0.6 : 0.8 = 3/4 .

שיפוע וזווית

לדוגמה: ישר יוצר זווית של 45° עם הכיוון החיובי של ציר האיקס, והוא עולה. מה השיפוע שלו?

תשובה ופתרון

התשובה: 1

השיפוע הוא tan 45° = 1 .

שטח משולש בעזרת סינוס

לדוגמה: ABC205 במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 20, AC = 5, ∢A = 30° . מה שטח המשולש?

תשובה ופתרון

התשובה: 25 סמ״ר

S = 20 · 5 · sin 30° : 2 = 100 : 4 = 25 . השטח 25 סמ״ר.

משולשים בתוך צורות

לדוגמה: ABCD6 במשולש ABC נתון AB = AC = 6 ס״מ. נתון גם ∢B = 75° . הקטע AD הוא הגובה לבסיס BC . מה אורך AD ? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

תשובה ופתרון

התשובה: 5.8 ס״מ

במשולש ישר הזווית ABD : AD = 6 · sin 75° ≈ 5.8 . האורך בערך 5.8 ס״מ.

ערכי הפונקציות

לדוגמה: כשהזווית החדה α גדלה, מה קורה לערך של tan α ?

תשובה ופתרון

התשובה: הוא גדל

כשהזווית החדה גדלה והיתר נשאר באותו אורך, הניצב שמולה גדל והניצב שלידה קטן. לכן הסינוס והטנגנס גדלים, והקוסינוס קטן. tan 20° ≈ 0.364 , tan 70° ≈ 2.747 .

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת ערכי הזוויות המיוחדות · משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים · רדיאנים.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←