# טריגונומטריה במשולש ישר זווית לכיתה י׳ · 4 יח״ל

> טריגונומטריה במשולש ישר זווית לכיתה י׳ · 4 יח״ל: סינוס, קוסינוס וטנגנס, חישוב צלע, חישוב זווית ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא טריגונומטריה במשולש ישר זווית בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים סינוס, קוסינוס וטנגנס, חישוב צלע, חישוב זווית, זוויות מיוחדות, קשרים בין הפונקציות, שיפוע וזווית, שטח משולש בעזרת סינוס, משולשים בתוך צורות וערכי הפונקציות.

במשולש ישר זווית, לכל זווית חדה יש ניצב מולה, ניצב לידה ויתר. הסינוס של הזווית הוא היחס בין הניצב שמולה לבין היתר, הקוסינוס הוא היחס בין הניצב שלידה לבין היתר, והטנגנס הוא היחס בין הניצב שמולה לבין הניצב שלידה. היחסים תלויים רק בזווית, לא בגודל המשולש, כי כל המשולשים ישרי הזווית עם אותה זווית חדה דומים.

כשיודעים צלע וזווית, בוחרים את היחס שמקשר ביניהם לבין הצלע שמחפשים, ופותרים. כשיודעים שתי צלעות, מחשבים את היחס ומוצאים את הזווית במחשבון. בכל שאלה כתוב לאיזה דיוק לעגל. הסינוס של זווית שווה לקוסינוס של הזווית המשלימה לתשעים מעלות, וסכום ריבועי הסינוס והקוסינוס של אותה זווית הוא אחת.

לשלוש זוויות יש ערכים מדויקים: שלושים, ארבעים וחמש ושישים מעלות. הטנגנס של הזווית שישר יוצר עם ציר האיקס הוא השיפוע שלו. שטח משולש הוא חצי ממכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן.

**טיפ:** סמנו את הזווית, ואז כתבו ליד כל צלע אם היא מול הזווית, ליד הזווית או היתר. אחר כך בוחרים את היחס.

## מה לומדים בנושא

### סינוס, קוסינוס וטנגנס

- דוגמה: (משולש ישר זווית, והזווית הישרה מסומנת.) במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון (בס״מ): AC = 24, BC = 18, AB = 30 . מצאו את sin B כשבר מצומצם.
- תשובה: 4/5
- פתרון: מול הזווית B נמצא הניצב AC , לידה נמצא הניצב BC , והיתר הוא AB . לכן sin B = AC : AB = 24/30 = 4/5 .

### חישוב צלע

- דוגמה: (משולש ישר זווית, והזווית הישרה מסומנת.) במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון (בס״מ): ∢B = 25°, AB = 20 . מה אורך הצלע AC ? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.
- תשובה: 8.45 ס״מ
- פתרון: sin 25° = AC : 20 , ולכן AC = 20 · sin 25° ≈ 8.45 . האורך בערך 8.45 ס״מ.

### חישוב זווית

- דוגמה: (משולש ישר זווית, והזווית הישרה מסומנת.) במשולש ABC הזווית C ישרה. נתון (בס״מ): AC = 3, BC = 15 . מצאו את ∢B בדיוק של מעלה שלמה.
- תשובה: 11 °
- פתרון: לזווית B נתונים שני הניצבים, ולכן: tan B = AC : BC = 3/15 . במחשבון: ∢B ≈ 11° .

### זוויות מיוחדות

- דוגמה: מה הערך המדויק של sin 60° ?
- אפשרויות: √3/3 · √3 · 1 · √3/2
- תשובה: √3/2
- פתרון: הערכים המדויקים: sin 30° = cos 60° = 1/2 , sin 45° = cos 45° = √2/2 , sin 60° = cos 30° = √3/2 , tan 30° = √3/3 , tan 45° = 1 , tan 60° = √3 . לכן sin 60° = √3/2 .

### קשרים בין הפונקציות

- דוגמה: הזווית α חדה, ונתון sin α = 0.6 . מצאו את tan α כשבר מצומצם.
- תשובה: 3/4
- פתרון: cos α = √(1 − 0.6²) = √(1 − 0.36) = √0.64 = 0.8 . לכן tan α = 0.6 : 0.8 = 3/4 .

### שיפוע וזווית

- דוגמה: ישר יוצר זווית של 45° עם הכיוון החיובי של ציר האיקס, והוא עולה. מה השיפוע שלו?
- אפשרויות: √3 · √3/3 · √3/2 · 1
- תשובה: 1
- פתרון: השיפוע הוא tan 45° = 1 .

### שטח משולש בעזרת סינוס

- דוגמה: (משולש, ושתי צלעות שלו עם הזווית שביניהן.) במשולש ABC נתון (בס״מ): AB = 20, AC = 5, ∢A = 30° . מה שטח המשולש?
- תשובה: 25 סמ״ר
- פתרון: S = 20 · 5 · sin 30° : 2 = 100 : 4 = 25 . השטח 25 סמ״ר.

### משולשים בתוך צורות

- דוגמה: (משולש שווה שוקיים והגובה לבסיס שלו.) במשולש ABC נתון AB = AC = 6 ס״מ. נתון גם ∢B = 75° . הקטע AD הוא הגובה לבסיס BC . מה אורך AD ? עגלו את התשובה עד שתי ספרות אחרי הנקודה.
- תשובה: 5.8 ס״מ
- פתרון: במשולש ישר הזווית ABD : AD = 6 · sin 75° ≈ 5.8 . האורך בערך 5.8 ס״מ.

### ערכי הפונקציות

- דוגמה: כשהזווית החדה α גדלה, מה קורה לערך של tan α ?
- אפשרויות: הוא קטן · הוא לא משתנה · הוא גדל
- תשובה: הוא גדל
- פתרון: כשהזווית החדה גדלה והיתר נשאר באותו אורך, הניצב שמולה גדל והניצב שלידה קטן. לכן הסינוס והטנגנס גדלים, והקוסינוס קטן. tan 20° ≈ 0.364 , tan 70° ≈ 2.747 .

## עוד לא באתר

- הוכחת ערכי הזוויות המיוחדות
- משפט הסינוסים ומשפט הקוסינוסים
- רדיאנים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-4u/)