קטעים מיוחדים במשולש לכיתה י׳ · 4 יח״ל

בנושא קטעים מיוחדים במשולש בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים מפגש התיכונים, תיכון ושטח, התיכון ליתר, משפט חוצה הזווית, מקומות גאומטריים והנקודות המיוחדות במשולש. לכל קו מיוחד במשולש יש מקום גאומטרי. האנך האמצעי לקטע הוא אוסף הנקודות שרחוקות במידה שווה משני קצותיו, וחוצה הזווית הוא אוסף הנקודות שרחוקות במידה שווה משתי שוקי הזווית. שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת, מרכז המעגל החוסם, ושלושת חוצי הזוויות נפגשים במרכז המעגל החסום.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, ונקודה זו מחלקת כל תיכון ביחס של שתיים לאחת מהקודקוד. תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כי יש להם בסיסים שווים ואותו גובה. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר. חוצה זווית מחלק את הצלע שמולה ביחס של שתי הצלעות שליד הזווית. הוכחה לדוגמה: נקודה על האנך האמצעי לקטע. היא יוצרת עם קצות הקטע שני משולשים, ולשניהם צלע משותפת, האנך, וזווית ישרה. גם הקטעים שליד הזווית הישרה שווים, כי האנך עובר באמצע. לכן המשולשים חופפים לפי צלע, זווית, צלע, והנקודה רחוקה במידה שווה משני הקצוות.

טיפ: שרטטו את הקו המיוחד בצבע אחר, וסמנו מה ידוע עליו: אמצע, זווית ישרה או שתי זוויות שוות.

לתרגול באתר ←

מה לומדים בנושא

מפגש התיכונים

לדוגמה: ABCMNKG במשולש ABC התיכונים נפגשים בנקודה G . הקטע AM הוא תיכון. אורך התיכון AM הוא 9 ס״מ. מה אורך הקטע GM ?

תשובה ופתרון

התשובה: 3 ס״מ

GM = 1/3 · 9 = 3 . האורך 3 ס״מ.

תיכון ושטח

לדוגמה: ABCD במשולש ABC הקטע AD הוא התיכון לצלע BC . שטח המשולש ABC הוא 24 סמ״ר. מה השטח של המשולש ABD ?

תשובה ופתרון

התשובה: 12 סמ״ר

המשולש ABD הוא חצי מהמשולש ABC : 24 : 2 = 12 . השטח 12 סמ״ר.

התיכון ליתר

לדוגמה: ABCM במשולש ABC נתון ∢B = 90° , והקטע BM הוא התיכון ליתר AC . אורך היתר הוא 40 ס״מ. מה אורך התיכון?

תשובה ופתרון

התשובה: 20 ס״מ

BM = 40 : 2 = 20

משפט חוצה הזווית

לדוגמה: ABCD12154? במשולש ABC הקטע AD חוצה את ∢BAC . הנקודה D נמצאת על הצלע BC . נתון (בס״מ): AB = 12, AC = 15, BD = 4 . מה אורך הקטע DC ?

תשובה ופתרון

התשובה: 5 ס״מ

לפי משפט חוצה הזווית BD : DC = AB : AC = 12 : 15 . לכן DC = 4 · 15 : 12 = 5 . האורך 5 ס״מ.

מקומות גאומטריים

לדוגמה: על איזה קו נמצאות כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה משני קצות הקטע AB ?

תשובה ופתרון

התשובה: האנך האמצעי

האנך האמצעי לקטע הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה משני קצותיו.

הנקודות המיוחדות במשולש

לדוגמה: במשולש יש נקודה אחת שנמצאת במרחק שווה משלושת הקודקודים. איזו נקודה היא?

תשובה ופתרון

התשובה: נקודת המפגש של האנכים האמצעיים

זו נקודת המפגש של האנכים האמצעיים.

עוד לא באתר

חלקים מהנושא שעדיין לא נבנו: הוכחת המשפטים על מפגש הקווים המיוחדים · בניות בסרגל ובמחוגה · הוכחות עם קווים מיוחדים.

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד, ולכן בכל פעם יש תרגילים חדשים. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

לתרגול באתר ←