# קטעים מיוחדים במשולש לכיתה י׳ · 4 יח״ל

> קטעים מיוחדים במשולש לכיתה י׳ · 4 יח״ל: מפגש התיכונים, תיכון ושטח, התיכון ליתר, משפט חוצה הזווית ועוד. הסבר, דוגמאות פתורות ותרגול בחינם לפי משרד החינוך.

בנושא קטעים מיוחדים במשולש בכיתה י׳ · 4 יח״ל לומדים מפגש התיכונים, תיכון ושטח, התיכון ליתר, משפט חוצה הזווית, מקומות גאומטריים והנקודות המיוחדות במשולש.

לכל קו מיוחד במשולש יש מקום גאומטרי. האנך האמצעי לקטע הוא אוסף הנקודות שרחוקות במידה שווה משני קצותיו, וחוצה הזווית הוא אוסף הנקודות שרחוקות במידה שווה משתי שוקי הזווית. שלושת האנכים האמצעיים נפגשים בנקודה אחת, מרכז המעגל החוסם, ושלושת חוצי הזוויות נפגשים במרכז המעגל החסום.

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, ונקודה זו מחלקת כל תיכון ביחס של שתיים לאחת מהקודקוד. תיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח, כי יש להם בסיסים שווים ואותו גובה. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה לחצי היתר. חוצה זווית מחלק את הצלע שמולה ביחס של שתי הצלעות שליד הזווית.

הוכחה לדוגמה: נקודה על האנך האמצעי לקטע. היא יוצרת עם קצות הקטע שני משולשים, ולשניהם צלע משותפת, האנך, וזווית ישרה. גם הקטעים שליד הזווית הישרה שווים, כי האנך עובר באמצע. לכן המשולשים חופפים לפי צלע, זווית, צלע, והנקודה רחוקה במידה שווה משני הקצוות.

**טיפ:** שרטטו את הקו המיוחד בצבע אחר, וסמנו מה ידוע עליו: אמצע, זווית ישרה או שתי זוויות שוות.

## מה לומדים בנושא

### מפגש התיכונים

- דוגמה: (משולש ושלושת התיכונים שלו, הנפגשים בנקודה אחת.) במשולש ABC התיכונים נפגשים בנקודה G . הקטע AM הוא תיכון. אורך התיכון AM הוא 9 ס״מ. מה אורך הקטע GM ?
- תשובה: 3 ס״מ
- פתרון: GM = 1/3 · 9 = 3 . האורך 3 ס״מ.

### תיכון ושטח

- דוגמה: (משולש והתיכון לבסיס. אחד החצאים צבוע.) במשולש ABC הקטע AD הוא התיכון לצלע BC . שטח המשולש ABC הוא 24 סמ״ר. מה השטח של המשולש ABD ?
- תשובה: 12 סמ״ר
- פתרון: המשולש ABD הוא חצי מהמשולש ABC : 24 : 2 = 12 . השטח 12 סמ״ר.

### התיכון ליתר

- דוגמה: (משולש ישר זווית והתיכון ליתר, מקווקו.) במשולש ABC נתון ∢B = 90° , והקטע BM הוא התיכון ליתר AC . אורך היתר הוא 40 ס״מ. מה אורך התיכון?
- תשובה: 20 ס״מ
- פתרון: BM = 40 : 2 = 20

### משפט חוצה הזווית

- דוגמה: (משולש, וקטע מהקודקוד העליון לבסיס שחוצה את הזווית.) במשולש ABC הקטע AD חוצה את ∢BAC . הנקודה D נמצאת על הצלע BC . נתון (בס״מ): AB = 12, AC = 15, BD = 4 . מה אורך הקטע DC ?
- תשובה: 5 ס״מ
- פתרון: לפי משפט חוצה הזווית BD : DC = AB : AC = 12 : 15 . לכן DC = 4 · 15 : 12 = 5 . האורך 5 ס״מ.

### מקומות גאומטריים

- דוגמה: על איזה קו נמצאות כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה משני קצות הקטע AB ?
- אפשרויות: חוצה הזווית · תיכון · גובה · האנך האמצעי
- תשובה: האנך האמצעי
- פתרון: האנך האמצעי לקטע הוא המקום הגאומטרי של כל הנקודות שנמצאות במרחק שווה משני קצותיו.

### הנקודות המיוחדות במשולש

- דוגמה: במשולש יש נקודה אחת שנמצאת במרחק שווה משלושת הקודקודים. איזו נקודה היא?
- אפשרויות: נקודת המפגש של חוצי הזוויות · נקודת המפגש של התיכונים · נקודת המפגש של הגבהים · נקודת המפגש של האנכים האמצעיים
- תשובה: נקודת המפגש של האנכים האמצעיים
- פתרון: זו נקודת המפגש של האנכים האמצעיים.

## עוד לא באתר

- הוכחת המשפטים על מפגש הקווים המיוחדים
- בניות בסרגל ובמחוגה
- הוכחות עם קווים מיוחדים

התרגילים נוצרים לפי כללים, והתשובות מחושבות בקוד. הנושא בנוי לפי תוכנית הלימודים במתמטיקה לחטיבה העליונה של משרד החינוך, 4 יח״ל (תשפ״ד).

[לתרגול באתר](https://kixplo.com/il/he/) · [כל הנושאים של כיתה י׳ · 4 יח״ל](https://kixplo.com/il/he/math/grade-10-4u/)